Mavzu. Sinusoidal tok va kuchlanishlarning vektor va kompleks sonlar bilan tasvirlash. Sinusoidal tok zanjirlarini kompleks usulida hisoblash

Mavzu.Sinusoidal tok va kuchlanishlarning vektor va kompleks sonlar bilan tasvirlash.
Sinusoidal tok zanjirlarini kompleks usulida hisoblash
Sinusoidal tok zanjirlarini kompleks usulda hisoblashni amerikalik olim I. Shteynmets 1894 yilda ishlab chiqqan. Bu usul bilan hisoblashning asosida sinusoidal tok zanjiri uchun tuzilgan differensial tenglamalarni algebraik tenglamalar bilan almashlash yotadi. Bunda tok va kuchlanishlarning oniy qiymatlari ularning kompleks tasvirlari bilan almashtiriladi, ya'ni vaqt funksiyasidagi integro-differensial tenglamalardan kompleks shaklda yozilgan va vaqt kattaligi istisno qilingan algebraik tenglamalar hosil qilinadi. Bu esa, tabiiyki zanjirlarni hisoblashni ancha soddalashtiradi.
Sinusoidal kattaliklarni kompleks tekislikda vektorlar bilan tasvirlash
Ma'lumki har qanday kompleks son haqiqiy va mavhum qismlardan iborat. 2.16-rasmda kompleks tekislik keltirilgan. Abssissa o'qi haqiqiy sonlar o'qi, ordinata o'qi esa mavhum sonlar o'qi hisoblanadi. Kompleks tekislikda haqiqiy sonlar o'qi +1 belgi bilan, mavhum sonlar o'q esa bilan belgilanadi. Agar kompleks tekislikda abssissa o'qiga kompleks sonning haqiqiy qismini, ordinata o'qiga esa mavhum qismini joylashtirsak, u holda kompleks son tekislikda bir nuqtani ifodalaydi. Eyler formulasiga binoan Kompleks son kompleks tekislikda vektor ko'rinishda tasvirlanadi, uning amplitudasi 1 ga teng va burchakning musbat yo'nalishi haqiqiy sonlar o'qi (+1) ga nisbatan soat miliga teskari yo'nalishda hisoblanadi. funksiyaning moduli birga teng:

funksiya vektorining haqiqiy o'qqa proyeksiyasi ga teng, mavhum o'qqa proyeksiyasi esa ga teng. Agar funksiya o'rniga funksiyasini olsak, u holda (2.3) ifoda hosil bo'ladi.

Kompleks tekislikda bu funksiyaning (+1) o'qiga nisbatan burchagi ga teng, faqat vektorning uzunligi I_m marta kattadir. (2.3) formuladagi burchak qiymati har xil bo'lishi mumkin. Masalan, (2.16-rasm, b), ya'ni burchak t vaqtga proporsional o'zgarsa, u holda
.
tashkil etuvchi ifodaning haqiqiy (Re) qismi bo'lib, u quyidagicha ifodalanadi:

tashkil etuvchi ifodaning mavhum qismi bo'lib, u quyidagicha yoziladi:

Shunday qilib, sinusoidal tokni ko'rinishda yozish mumkin. Bu aylanuvchi vektor ni +j o'qiga proyeksiyasidir. Kompleks tekislikda sinusoidal kattaliklarni vektor tasvirlarini dagi holatini tasvirlash qabul qilingan. Bu holda vektor bo'lganda quyidagicha ifodalanadi:

-kompleks tok, uning moduli I_m ga, argumenti esa vektorni haqiqiy sonlar o'qiga nisbatan hosil qilgan burchagi (boshlang'ich faza ) ga teng bo'ladi (2.16-rasm, v).