Mavzu: Nochiziqli rezonans. Nochiziqli sistemalarda rezonanasning xususiyatlari

NOCHIZIQLI REZONANS
Chiziqli sistemada tashqi kuch chastotasi xususiy chastotaga yaqinlashganda tebranishlar amplitudasining keskin ortish hodisasiga rezonans deb ataladi [2]. Dissipativli sistemada esa rezonans amplituda chekli bo’ladi. Sababi energiya kamayishi tebranish ortishi bilan ortib boradi va chegaraga
erishadi (2-rasm). Nochiziqli rezonans sistemaga tegishli muhim hodisa hisoblanadi. Nochiziqli rezonans bu-sistemadagi tebranishlar amplitudasini o’zgarishining chegaraviy qiymatiga aytiladi. Chiziqli sistemada esa amplituda monoton o’sadi va chegara yagona bo’ladi. Nochiziqli sistemada esa jarayonning o’zgarishi bilan unga muhit ta’siri ham o’zgarganligi sababli bir nechta rezonans bo’lishi mumkin. Shuning uchun mana shu g’alayonlarni nazorat qila oladigan va
nazorat qila olmaydigan chegarani topamiz. ẋẍλ
Buning uchun (2.2) tenglamani yozamiz:
ẍ - ( λ - x² ) ẋ + x = μsin(ατ)
Bu yerda ω₀=1, ω₁= ω₀α=α va α=1+δ, δ oldingidan kichik o’tish
chastotasi.
(2.4) dagi ifoda va tashqi ta’sirni Eyler tenglamasiga asoslanib,
eksponensial ko’rinishga keltiramiz. U holda (2.4) ni quyidagicha yozamiz:

A(τ)-sekin o’zgaruvchi funksiya.
Tashqi kuchni esa:

tarzda ifodalaymiz.

Amplitudani sekin o’zgaruvchi ekanligidan quyidagi qo’shimcha shartni

kiritamiz,

(2.35) dan foydalanib, (2.32) dan  bo’yicha hosila olamiz:

(2.36) dan yana hosila olish orqali ikkinchi tartibli differensialni topamiz;

(2.34), (2.36), (2.37) va (2.38) tenglamalarni (2.2) tenglamaga qo’yib,
soddalashtirsak,

(2.39) tenglamada mavhum va yuqori garmonikalarni hisobga olmagan
holda (2.35) dan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:

(2.40) natija bizning maqsadimizni oydinlashtirishi uchun yanada
soddalashtiramiz. Shuning uchun belgilash kiritamiz. Hamda α(τ)
va φ(τ) ni vaqtga bog’liq bo’lsin. Ya’ni,

(2.41) ni (2.40) ga qo’yib, haqiqiy va mavhum qismlarni tenglashtiramiz.

(2.43) tenglamaning xususiy holi (1.29) va (2.13) tenglamalar bo’ladi.

Endi sistema uchun rezonans shartlarini aniqlaymiz. Buning uchun (2.44)
da yuritgan fikrimizdan yana foydalanib, (2.43) ni qisqartiramiz,

bu yerda ―oldingidan o’tish deb ataladi.  funksiyani P ning turli qiymatlarida oldingidan o„tishga bog’lanishi orqali rezonans shartlarini topamiz.
Buning uchun ning grafigida shunday nuqtalarni topish kerakki, funksiyaning
hosilasi cheksizga intilishi shart. (2.48) tenglamani teskari funksiya ko’rinishga
keltirib, so’ng o’z maqsadimiz yo’lida ishlatamiz,

 dan  funksiya bo’yicha hosila olamiz,



3-rasm. Rezonansni ifodalovchi grafik

4-rasm. Chiziqli sistemada rezonansning ko„rinishi.
Grafiklardan ko’rinadiki, bu sistemalar bir-biridan keskin farq qilar ekan. Masalan;  ni oldingidan o’tish deydigan bo’lsak, har qanaqa qiymatida ham faqat bitta amplitudaga ega bo’ladi. Uyg’otilgan Van-der Pol generatorining xususiyatlarini ochish maqsadida 3-rasmni to’liq o’rganib chiqamiz.
Demak, 3-rasm va tebranish generatorini bog’lovchi ifoda bu (2.48) ekan,
ya’ni,