Mavzu: natural sonlarga va pragesiyaga doir masalalar reja: Ntural sonlar. Natural sonlar sistemasi

Mavzu: NATURAL SONLARGA VA PRAGESIYAGA DOIR MASALALAR

REJA:

1.Ntural sonlar.

2. Natural sonlar sistemasi
3. Natural sоnlar to`plari 
Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy ma'lumot. Natural son tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. U butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida vujudga 58 kelgan. Turli-tuman chekli to'plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab bo'ldi. O'zining rivojlanish davrida natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o'tdi. Juda qadim zamonlarda chekli to'plamlarni taqqoslash uchun berilgan to'plamlar orasida yoki to'plamlardan biri bilan ikkinchi to'plamning qism to'plami orasida o'zaro bir qiymatli moslik o'rnatishgan, ya'ni bu bosqichda kishilar buyumlar to'plamining sanog'ini ularni sanamasdan idrok qilganlar. Vaqt o'tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni, shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o'rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda sonlarni yozishning o'nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural sonlarning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo'la boshladi. Natural son tushunchasi shakllangandan so'ng sonlar mustaqil obyektlar bo'lib qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o'rganish imkoniyati vujudga keldi. Sonni va sonlar ustida amallarni o'rgana boshlagan fan «Arifmetika» nomini oldi. Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to'plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o'rta asrlarda Hind, Arab dunyosi mamlakatlari va O'rta Osiyo matematiklari, XVIII asrdan boshlab esa Yevropalik olimlar katta hissa qO'shdilar. «Natural son» atamasini birinchi bo'lib rimlik olim A. A. Boetsiy qo'lladi. Istalgan natural a son uchun undan bevosita keyin keladigan natural son yagonadir, ya’ni (a, v(N)(a=v)=>(a/=v/);
1] Natural son deb sanash (sanoq) uchun ishlatiladigan sonlarga aytiladi. Natural sonlar to'plami  harfi bilan belgilanadi. 2] Natural sonlar qatori cheksizdir. Natural sonlar qatori: 1,2,3,4,5,6,7... [ 0(nol) natural son emas]. 3] Natural sonlar ustida amallar.
Natural songa natural son qo'shilsa natija har doim natural son bo'ladi.
7+10=17
Bunda 7 soni 1-qo'shiluvchi, 10 soni 2-qo'shiluvchi, 17 soni yig'indi deyiladi.
Natural sondan natural son ayrilsa natija natural son bo'lish ham mumkin, natural son bo'lmasligi ham mumkin.
14-6=8. 11-34=-23
Bunda 14(va 11) soni kamayuvchi, 6( va 34) soni ayriluvchi, 8(va -23) soni ayirma deyiladi.
natural sonlar Ular ma'lum bir to'plamdagi elementlar sonini hisoblash uchun ishlatiladi. Masalan, natural sonlar - bu qutida nechta olma borligini aniqlash uchun ishlatiladigan raqamlar. Ular, shuningdek, to'plam elementlarini buyurtma qilish uchun ishlatiladi, masalan, kattaligi bo'yicha birinchi sinf o'quvchilari.
Birinchi holda biz gaplashamiz Kardinal raqamlar va ikkinchisida tartib raqamlariAslida "birinchi" va "ikkinchi" tartibli tabiiy sonlardir. Aksincha, bitta (1), ikkitasi (2) va uchta (3) asosiy tabiiy sonlardir.
Matematik yozuvda natural sonlar to'plami quyidagicha belgilanadi:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ………}
Va nolga teng bo'lgan tabiiy sonlar to'plami boshqa tarzda belgilanadi:
ℕ⁺ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}
Ikkala to'plamda ham ellipslar elementlarning ketma-ket cheksizlikka qadar davom etishini bildiradi, cheksiz so'zi to'plamning oxiri yo'qligini aytish uchun asosdir.
Natural son qanchalik katta bo'lishidan qat'iy nazar, siz har doim keyingi eng yuqori ko'rsatkichga erishishingiz mumkin.
Natural sonlar to'plami:
ℕ+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ………}
Va ular bilan siz boshqa to'plam elementlari sonini sanashingiz yoki shu elementlarga buyurtma berishingiz mumkin, agar ularning har biriga tabiiy son berilgan bo'lsa.
3) 1 sonidan boshka ixtiyoriy natural son bitta va fakat bitta natural sondan keyin keladi, ya’ni (a, v(N)(a/=v/)=>(a=v);
4) Agar natural sonlar tuplamining ixtiyoriy M tuplamostisi:
a) 1 ni uz ichiga olsa;
v) Ixtiyoriy a elementining M da bulishidan a/ ning xam M da bulishi kelib chiksa, u xolda M tuplamosti N natural sonlar tuplami bilan ustma-ust tushadi, ya’ni (MN)((l(M)(a(M=>a/(M))=>M=N (induksiya aksiomasi) buladi.
Yukoridagi ta’rifdagi aksiomalarni dastlab Italiya matematigi Peano (1858-1932) taklif etgani uchun ularni Peano aksiomalari deb yuritiladi.
Natural sonlar sistemasiga kuyidagicha ta’rif berish mumkin [2 ning 119 betida]:
Ta’rif. Kushish va kupaytirish amallari aniklangan 0 va 1 elementlari kiritilgan N tuplam elementlari uchun kuyidagi shartlar (aksiomalar) urinli bulsa, u xolda N1= agebraga natural sonlar sistemasi deyiladi:
((n(N) n+10, ya’ni 0 elementni N ning xar kanday n elementi va 1 ning yigindisi sifatida ifodalash mumkin emas;
((m,n(N) m+l=n+l=>m=n ya’ni kushish amali buyicha 1 dan chapda keluvchi xech kanday element yuk;
((m(N) m+0=m, ya’ni 0 element kushish amaliga kura ung neytral element;
((m,n(N) m+(n+l)=(m+n)+l ya’ni kushish amali kuchsiz, assotsiativ shaklda buladi;
((m(N) m(0=0;
((m,n(N) m(n+l)=mn+m ya’ni kupaytirishning kushishga isbatan kuchsiz distritutiv shakli buladi;
Agar MN bulganda:
a)0(M, b) (n(M=>n+l(M, u xolda M=N buladi.
7-aksioma matematik induksiya aksiomasi deyiladi. N tuplamning elementlarini natural sonlar deyiladi. 0 va 1 elementlarni mos ravishda N sistemasining nol va birlik elementlari deyiladi. 1+1, (1+1)+1, ((1+1)+1),... yozuv urnida mos ravishda 2, 3, 4,... oddiy unlik belgilar ishlatiladi.
Ta’rif. Matematik induksiya prinsipi deb kuyidagi aksiomaga aytiladi:
Biror jumla p natural songa boglik bulib, kuyidagi aksiomalar urinli bulsin, ya’ni
1. n=1 uchun jumla rost;
2. n=k uchun jumlaning rostligidan n=k+l uchun jumlaning rostligi kelib chikadi.
Bu xolda jumla n ning xar kanday natural kiymatida rost buladi.
Bu aksiomaning shartlarini tekshirish kuyidagi ikkita teorema bilan aniklanadi:
1-teorema. Jumlaning n=1 uchun rostligini isbotlash;
2-teorema. Jumlaniig n=k uchun tugri deb faraz kilib, uning n=k+l uchun rostligini isbotlash.
1-teoremaga induksiya bazisi, 2-teoremaga induksion kadam deyiladi.
Ta’rif. Xususiy jumlalardan umumiy xulosa chikarish induksiya deyiladi.
Induksiya ikki xil, ya’ni tula va chala induksiya buladi.
Ta’rif. Barcha xususiy xollarni tekshirib umumiy xulosa chikarish tula induksiya deyiladi.
Ta’rif. Barcha xususiy xollarni tekshirmasdan bir nechta xususiy xollarni tekshirib umumiy xulosa chikarish chala induksiya deyiladi.
Chala induksiya bilan xosil kilingan natijalar notugri bulishi mumkin. Shuning uchun u matematikada kup ishlatilmaydi.
Misol. 1+3+5+...+(2n-1)=n2 tenglikni n ning xar kanday natural kiymatida tugri ekanligini isbotlang.
Berilgan tenglikning rostligini matematik induksiya prinsipi asosida isbot kilamiz.
1. n=1 uchun 1=12 tugri;
2. n=k uchun 1+3+5+...+(2k-l)=k2 tenglikni k(N bulganda tugri deb faraz kilib n=k+1 uchun 1+3+5+...+(2(k+l)-l)=(k+l)2 tenglikning tugriligini isbotlaylik. Isboti. 1+3+5+...+(2k-l)+(2(k+l)-l)=k2+2k+2-l= =k2+2k+l=(k+l)2, ya’ni 1+3+5+...+(2(k+l)-l)=(k+l)2 kelib chikadi. Demak, berilgan tenglik n(N bulganda rost buladi.Teorema (Matematik induksiya prinsipi). Agar biror V(n) tasdik n=1 uchun rost bulib, uning n=k uchun rostligidan n=k+l uchun rostligi kelib chiksa, u xolda V(n) tasdik istalgan n natural son uchun rost buladi. Natural son yozuvida har bir raqamning ma'nosi uning holatiga bog'liq. 
Masalan, natural son 539 mos keladi 5 yuzlab 3 o'nlab va 9 birliklar, demak, raqam 5 rekord raqamda 539 yuzlab, sonni aniqlaydi 3 - o'nlablarning soni va raqam 9 – birliklar,soni. Shu bilan birga, ular bu raqamni aytishadi 9 ichida turibdi tushirish birliklari va raqam 9 hisoblanadi birliklar qiymati, shakl 3 ichida turibdi o'nlab va raqam 3 hisoblanadi o'nlab qiymatva shakl 5 - ichida yuzlab oqindi va raqam 5 hisoblanadi yuzlab tushirish qiymati. Shunday qilib, tushirish - bir tomondan, bu raqamning natural son yozuvidagi holati, boshqa tomondan, bu raqamning joylashishi bilan belgilanadigan qiymati. Raqamlar nomlangan. Agar siz natural sonning yozilishidagi raqamlarni o'ngdan chapga qarab ko'rsangiz, unda quyidagi raqamlar ularga mos keladi: birliklar, o'nlab, yuzlab, minglab, o'n minglab, yuzlab minglab, millionlab, o'nlab millionlar va boshqalar. Raqamlarning nomlari jadval shaklida berilganida eslab qolish qulay. E'tibor bering, berilgan natural sonning raqamlari ushbu raqamni yozishda qatnashgan belgilar soniga teng bo'ladi. Shunday qilib, yozilgan jadvalda barcha tabiiy raqamlarningraqamlari nomlari keltirilgan, ularning yozuvlari 15 tagacha belgilarni o'z ichiga oladi. Quyidagi toifalar ham o'zlarining nomlariga ega, ammo ular juda kamdan,kam hollarda qo'llaniladi, shuning uchun ularni eslashning ma'nosi yo'q. Ko'p qiymatli ijobiy butun sonning pastki (kichik) va yuqori (katta) toifalarini ham eslatib o'tish kerak. Kam (past) kategoriya har qanday ko'p qiymatli ijobiy butun son birliklar toifasiga kiradi. Natural sonning eng yuqori (katta) raqami bu raqam yozuvidagi eng o'ng raqamga mos keladigan raqam. Masalan, 23 004 natural sonining eng past raqami birliklarning raqamlari, eng yuqori esa o'n minglab kishilarning raqamidir. Agar natural son belgisida raqamlar chapdan o'ngga siljigan bo'lsa, har bir keyingi raqam pastki (yosh) oldingisi. Masalan, minglab zaryadlar o'n minglab zaryadlardan yoshroq, ayniqsa minglab zaryadlar yuz minglab, millionlab, o'n millionlab va hokazolarga qaraganda yoshroq. Agar natural sonning yozuvida bitta raqam o'ngdan chapga siljigan bo'lsa, unda har bir keyingi raqam yuqori (eski) oldingisi. Masalan, yuzlab zaryadlarning tushishi o'nlab zaryadlardan kattaroqdir, va bundan ham ko'proq, birliklar zaryadsizlanishidan katta. Ba'zi hollarda (masalan, qo'shish yoki ayirishda) natural son ishlatilmaydi, lekin bu natural sonning bit shartlarining yig'indisi. Shunday qilib, biz natural sonlar, ular ichiga kiritilgan ma'no va o'nta raqamdan foydalangan holda natural sonlarni yozish usullari bilan tanishdik. Umuman olganda, belgilar yordamida raqamlarni yozish usuli chaqiriladi raqamlar tizimi. Raqamli yozuvdagi raqamning qiymati uning holatiga bog'liq bo'lishi mumkin yoki u uning holatiga bog'liq bo'lmasligi mumkin. Raqam kiritilishidagi raqamning qiymati uning holatiga,bog'liq bo'lgan raqamli tizimlar deyiladi pozitsiyali. Shunday qilib, biz ko'rib chiqqan natural sonlar va ularni qayd qilish usuli bizning pozitsiyali raqamlar tizimidan foydalanishimizni ko'rsatadi. Shuni ta'kidlash kerakki, ushbu raqamlar tizimida alohida o'rin raqamga ega 10 . Darhaqiqat, ballar o'nlab tomonidan saqlanadi: o'nta birlik o'nga birlashadi, o'nlab o'nlab yuzga, o'nlab yuzlab minglarga birlashadi va hokazo. Raqam 10 deyiladi sabab berilgan raqamlar tizimi va raqam tizimining o'zi deyiladi o'nlik.Natural sonlar (lat dan. naturalis - tabiiy; natural sonlar) - hisoblash paytida tabiiy ravishda yuzaga keladigan raqamlar (masalan, 1, 2, 3, 4, 5 ...). Barcha natural sonlarning ko'tarilish tartibiga aytiladi yaqin. Natural sonlarni aniqlashda ikkita yondashuv mavjud: sanash (raqamlash) narsalar ( birinchi, ikkinchi, uchinchisi, to'rtinchisi, beshinchi "...); natural sonlar - dan kelib chiqadigan raqamlar miqdorni belgilash narsalar ( 0 ta element, 1 ta element, Birinchi holda, bir qator natural sonlar bitta bilan boshlanadi, ikkinchisida noldan. Ko'pgina matematiklar uchun birinchi yoki ikkinchi yondashuvning afzal ko'rilishi to'g'risida bitta fikr yo'q (ya'ni nolni natural son deb hisoblash kerakmi yoki yo'qmi). Rossiya manbalarining aksariyati an'anaviy tarzda birinchi yondashuvni qabul qildilar. Ikkinchi yondashuv, masalan, Nikolas Bourbaki asarlarida qo'llaniladi, bu erda natural sonlar cheklangan to'plamlarning kardinallari sifatida belgilanadi. Salbiy va to'liq bo'lmagan raqamlar (ratsional, haqiqiy, ...) natural sonlargataalluqli emas Barcha natural sonlar to'plami N belgisi bilan belgilangan. (naturalis - tabiiy). Natural sonlar to'plami cheksizdir, chunki n har qanday natural son uchun n dan katta natural son mavjud. Natural sonlar to'plamining qiymati: Cheksiz to'plamning qiymati cheksiz to'plamga cheklangan to'plam elementlari sonini umumlashtirishdan iborat bo'lgan "to'plamning yaqinligi" tushunchasi bilan tavsiflanadi. Miqdorda (ya'ni, quvvat), natural sonlar to'plami har qanday cheklangan to'plamdan kattaroqdir, ammo har qanday intervaldan kamroq, masalan, (0, 1) oraliq. Quvvatdagi natural sonlar to'plami ratsional sonlar to'plami bilan bir xil. Natural sonlar to'plami kabi bir xil quvvat to'plamiga sanab bo'ladigan to'plam deyiladi. Shunday qilib, har qanday ketma ketlik a'zolari sonini hisoblash mumkin. Shu bilan birga, har bir natural son cheksiz ko'p marta kiradigan ketma-ketlik mavjud, chunki natural sonlar to'plamini ajratib bo'lmaydigan hisoblashlar to'plamining hisoblanadigan birlashmasi sifatida ko'rsatish. Peano aksiomalari N maydoni - bu elementar matematikaga asoslanadigan asosiy maydon. Vaqt o'tishi bilan butun, ratsional, kompleks sonlar sohalari ajralib chiqdi. Italiyalik matematik Juzeppe Peanoning faoliyati arifmetikani yanada tuzishga imkon berdi, uning shaklliligiga erishdi va N maydonidan tashqarida bo'lgan xulosalar chiqarish uchun zamin yaratdi. Tabiiy son nima, oldinroq sodda tilda aniqlangan, quyida Peanoning aksiomalariga asoslangan matematik ta'rifni ko'rib chiqamiz. Birlik natural son hisoblanadi. Natural sondan keyin keladigan raqam tabiiydir. Jihozning oldida tabiiy raqam yo'q. Agar b soni c raqamiga va d raqamiga mos bo'lsa, c \u003d d. Induksiya aksiomasi, bu o'z navbatida natural sonning nima ekanligini ko'rsatadi: agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi bir fikr 1 raqami uchun to'g'ri bo'lsa, u holda n natural sonlar sohasidagi n soni uchun ishlaydi deb taxmin qilamiz, keyin n uchun ham to'g'ri bo'ladi. N 1 natural sonlar maydonidan. 
Natural sonlar maydoni uchun asosiy operatsiyalar: N maydoni matematik hisob-kitoblar uchun birinchi bo'lganligi sababli, ushbu sohaga aniqlik kiritilish sohalari va quyida keltirilgan bir qator operatsiyalar qiymatlari diapazoni bog'liq. Ular yopiq va yo'q. Asosiy farq shundaki, yopiq operatsiyalar natijalari N ni belgilangan doirada qoldirishi kafolatlanadi, qaysi raqamlar ishtirok etmasin. Ularning tabiiyligi etarli. Qolgan sonli o'zaro ta'sirlarning natijasi endi bu qadar sodda emas va ifoda qaysi raqamlarning ishtirok etishiga bog'liq, chunki u asosiy ta'rifga zid kelishi mumkin. O'quvchilar boshlang'ich matematikaning butun tuzilishini tushunib yetgandan keyin, ular tabiiy sonlar deb nomlanadigan raqamlarni aniqlaganlaridan keyin bu Pifagor jadvali. U nafaqat ilmfan nuqtai nazaridan, balki eng qimmatli ilmiy yodgorlik sifatida ham ko'rib chiqilishi mumkin. Ushbu ko'payish jadvali vaqt o'tishi bilan bir qator o'zgarishlarni boshdan kechirdi: undan nol olib tashlandi va 1 dan 10 gacha bo'lgan raqamlar (yuzlab, minglab ...) tashqari o'zlarini bildiradi. Bu jadval bo'lib, unda satrlar va ustunlarning sarlavhalari raqamlar va ularning kesishish joyidagi hujayralar tarkibi ularning mahsulotiga tengdir. So'nggi o'n yilliklarda ta'lim berish amaliyotida Pifagor stolini "tartibda" yodlash zarurati paydo bo'ldi, ya'ni yodlash avval davom etdi. 1 ga ko'paytirish chiqarib tashlandi, chunki natija 1 ga yoki undan katta omilga teng edi. Shu bilan birga, stolda 
yalang'och ko'z bilan siz naqshni ko'rishingiz mumkin: raqamlar mahsuloti chiziq nomiga teng bo'lgan bir qadamga ko'payadi. Shunday qilib, ikkinchi omil bizga kerakli mahsulotni olish uchun birinchi marta necha marta bajarishingiz kerakligini ko'rsatadi. Ushbu tizim O'rta asrlarda qo'llanilganidan ko'ra qulayroq misol emas: hatto tabiiy son nima ekanligini va uning ahamiyatsizligini tushungan holda, odamlar ikkala kuchga asoslangan tizim yordamida o'zlarining kunlik hisoblarini murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi. Hozirgi vaqtda N natural sonlar maydoni murakkab sonlar to'plamlaridan biri sifatida ko'rib chiqiladi, ammo bu ularni fanda kam ahamiyatli qilmaydi. Tabiiy raqam - bu bolaning o'zi va atrofidagi dunyoni o'rganish orqali o'rganadigan birinchi narsa. Bir marta barmoq, ikki barmoq ... Uning yordamida odam mantiqiy fikrlashni rivojlantiradi, shuningdek, uning sababini aniqlash va ta'sirini namoyish etish, ajoyib kashfiyotlar uchun zamin tayyorlaydi. Fransiya akademiyasi bir vaqtning o'zida maxsus qaror qabul qildi, unga muvofiq 0 ko'p sonli natural sonlarga kiritildi. Endi bu standart, mening fikrimcha, "rus natural raqami" tushunchasini kiritish shart emas, balki ushbu standartga rioya qilish kerak. Tabiiyki, shuni ta'kidlash kerakki, bir paytlar bunday bo'lmagan (nafaqat Rossiyada, balki hamma joyda). Haqiqatan ham ikkita elеmеntdan tashkil tоpgan a={a; b} to`plamni оlaylik. 1- aksiоmaga asоsan bu to`plamda eng kichik elеmеnt bo`lishi kеrak. Agar bu elеmеnt a bo`lsa, a< b, agar bu elеmеnt b bo`lsa, b< a munоsabat o`rinli. Endi natural sоnlarni qo`shish mоnоtоnlik хоssasiga ega ekanligini ko`rsatamiz. Agar a bo`lsa, u hоlda iхtiyoriy cn uchun a+c ga ega bo`lamiz (tеngsizlikni ikkala tоmоniga bir хil sоni qo`shsak, tеngsizlik bеlgisi o`zgarmaydi). Aslida ta’rifga ko`ra a dеganda shunday bir k sоnni mavjud bo`lib b=a+k ekanini bildiradi. Lеkin b+c=(a+k)+c. Birinchi va ikkinchi aksiоmalarga ko`ra b+c =(a+k)+c=a+(k+c) = a+(c+k)=(a+c)+k. Dеmak, b+c=(a+c)+k. Bu esa a+c < b+c ekanini bildiradi. Endi natural sоnlarni qo`shish qisqaruvchanligini ko`rsatamiz, ya’ni a+c= b+c bo`lsa, u hоlda a=b ga tеng. Aslida quyidagi uch hоl bo`lishi mumkin: a; ammо a bo`lsa, u hоlda a+c < b+c bo`ladi, biz esa a+c=b+c dеb оldik. Dеmak a hоl mumkin emas. Shu sababli b hоl ham mumkin emas, faqat a=b bo`lgan hоl qоladi. 
Natural sоnlar to`plamining chеklanmaganligi va diskrеtligi. 1 - aksiоmaga ko`ra n natural sоnlar to`plamida eng kichik sоn mavjud. Bu sоn 1 bilan bеlgilanadi va birlik dеb ataladi. N natural sоnlar to`plamida eng kichik sоn bo`lgani uchun, iхtiyoriy an, sоn uchun a1 va 1<="" p="">bu yеrda bn natural sоnlar to`plamida eng katta sоn mavjud emas, haqiqatan ham iхtiyoriy an uchun a, dеmak a n to`plam uchun eng katta sоn bo`la оlmaydi. Shunga ko`ra n natural sоnlar to`plami quyidan 1 sоni bilan chеgaralanib, yuqоridan esa chеgaralanmagan dеb aytiladi. Barcha sоnlar o`rtasida a sоnidan 
kеyin kеluvchi eng kichik a+1 sоn bоr. Haqiqatan ham a sоnidan kеyin b sоni 
kеlsin dеsak, u hоlda shunday c natural sоni tоpiladiki b=a+c. Ammо 1c 
bo`lganidan a+1a+c ga ega bo`lamiz, bundan esa a+1b. Bu esa a+1 sоni a sоnidan 
kеyin kеluvchi eng kichik sоn ekanligini ko`rsatadi. Bundan kеyin a sоnidan kеyin 
kеluvchi eng kichik sоnga, a sоnidan bеvоsita kеyin kеluvchi sоn dеyiladi. Shunday qilib, n natural sоnlar to`plamidagi har bir elеmеntdan bеvоsita kеyin kеluvchi elеmеnt mavjud. Bu хоssa natural sоnlar to`plamining diskrеtligi dеyiladi. «b sоni a sоnidan bеvоsita kеyin kеladi» munоsabatiga «a sоni b sоnidan bеvоsita оldin kеladi» munоsabati tеskari hisоblanadi. Bоshqacha aytganda, a sоni b sоnidan bеvоsita оldin kеladi» munоsabati faqat va faqat b=a+1 bo`lganda o`rinli. 1 sоnidan оldin kеluvchi sоn yo`q, chunki birinchi va uchinchi aksiоmalarga ko`ra 1=a+1 bajarilmaydi. 1 dan bоshqa barcha natural sоnlar uchun uning оldidan kеluvchi faqat bitta va bitta natural sоn mavjudligini ham ko`rsatish 
mumkin. Haqiqatan ham b1 bo`lsa, u hоlda 1 bundan esa shunday an natural sоni mavjud bo`lib, b=1+a=a+1 ekani ko`rinadi. Dеmak, b natural sоni a dan kеyin kеlar ekan, ya’ni b natural sоni a dan bеvоsita 
kеyin kеladi. Endi b dan bоshqa a dan bеvоsita kеyin kеluvchi natural sоn 
yo`qligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, ca, c b dan bеvоsita kеyin kеluvchi sоn bo`lsin. U hоlda b= a+1; b=c+1 bo`ladi, bundan a+1=c+1; Qo`shishning qisqaruvchanlik хоssasiga asоsan a=c, bu esa farazimizga qarama-qarshi. Dеmak, b sоn a sоnidan bеvоsita kеyin kеluvchi yagоna sоn ekan. 
2.Tartib va sanoq natural sonlar. Shuni xulosa qilib aytish kerakki, natural sonlar 
nafaqat miqdorlarni oichash va to’plam elementlarini sanash uchun ishlatiladi, 
balki to’plam elementlarini tartiblash ham natural sonlar yordamida amalga oshiriladi. Bunda chekli to’plam uchun natural sonlar qatori kesmasi tushunchasi ishlatiladi.  Natural sonlar qatorining Na kesmasi deb, a natural sondan katta bo’lmagan barcha natural sonlar to’plamiga aytiladi. . A to ‘plam elementlarini sanash deb, A to ‘plam bilan natural sonlar qatorining Na kesmasi orasidagi o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatilishiga aytiladi. a soni A to’plam elementlari sonini bildiradi va n(A) = a deb yoziladi. To’plam elementlarini sanash faqat ularning miqdorini aniqlab qolmay, balki to’plam elementlarini tartiblaydi ham. Bunda har bir elementning sanoqda «nechanchi» ekanligini ham aytish mumkin bo’ladi. Elementning nechanchi bo’lishi sanashning olib borilishiga bog’liq. Kombinatorikada ko’rilganidek, a ta elementli to’plam tartiblanishlari umumiy soni a!ga teng bo’lgani uchun bu turli usullar bilan sanalganda element tartib nomeri a!marta o’zgarishi mumkin degani. Lekin qanday usul bilan sanalmasin, to’plam elementlari soni o’zgarmasdir. Demak, «nechta» savoliga javob beruvchi natural sonlar miqdoriy, «nechanchi» savoliga javob beruvchi natural sonlar tartib natural sonlar deyiladi. To’plam oxirgi elementining tartib nomeri bir vaqtda towplam elementlari sonini bildiradi. Demak, sanoq 19- elementida tugasa, to’plamda 19 ta element bor degan xulosa chiqariladi. 
Nomanfiy butun sonlar yigindisi va ko’paytmasi.