Mavzu: N. I. Lobochevskiy va uning geometriyasi

Mavzu:
N.I.LOBOCHEVSKIY VA UNING GEOMETRIYASI
Lobochevskiy geometriyasining aksiomatikasi absolyut geometriya aksiomalari qatoriga Lobochevskiy aksiomasini qo’shish bilan hosil qilinadi.Lobochevskiy geometriyasi absolyut geometriyaning barcha ta’rif va teoremalari o’z kuchini saqlaydi.
V. LOBOCHEVSKIY AKSIOMASI.Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida 2 ta to’g’ri chiziq o’tadi.
Shuni ta’kidlab o’tamizki, to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan uning bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut geometriyaga taalluqlidir, bu to’g’ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi tasdiqlaydi.Lobochevskiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida ikkitaligini tasdiqlaydi.
1-teorema. Lobochevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi.
Isbot.Lobochevskiy aksiomasiga asosan A nuqtadan a to’g’ri chiziq bilan (1-rasm) kesishmaydigan b va c to’g’ri chiziqlari o’tsin.c to’g’ri chiziq da shunday C nuqtani olamizki, bu nuqta va a to’g’ri chiziq b to’g’ri chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo’lsin.a to’g’ri chiziqda ixtiyoriy D nuqtani olib, CD to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq b bilan biror B nuqtada kesishadi, B nuqta c bilan D orasida yotadi.BC kesmaning Ixtiyoriy olib, AE to’g’ri chiziqni o’tkazsak bu to’g’ri chiziq a bilan kesishmaydi.Haqiqatdan ham AE bilan a to’g’ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb faraz qilib, DEF uchburchak va b to’g’ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini qo’llasak, a bilan b kesishadi, degan hulosaga kelamiz.Bu esa shartga zid.
A C c
E

B
b
a r

D
1-rasm

Demak, BC kesma nuqtalari cheksiz ko’p bo’lgani uchun AE ga o’xshash cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar A nuqtadan o’tib a bilan kesishmaydi.

Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari ham Lobochevskiy geometriyasida o’z kuchini yo’qotadi, jumladan, uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi endi 180º ga teng emas.Lekin 31-teoremani qo’llasak mantiqan quyidagi natija kelib chiqadi.
B b
β
C
c
β
A
2-teorema. Lobochevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklari yig’indisi 180º dan kichik.
3-teorema. Agar uchburchak ichki burchaklari yig’indisi 180º dan kichik bo’lsa;Lobochevskiy aksiomasi o’rinli bo’ladi.
4-teorema. Uchburchakning nuqsoni additivlik xossasiga bo’ysunadi, ya’ni ð _ABC=ð _ABC+ð _BDC
ISBOT.ð _ABC=180º-S _ABC=180º-(S _ABD+S _BDC -180º)=(180º-S _ABC)=
=ð _ABD+ð _BDC.
B 3-rasm




A D C
5-teorema. Lobochevskiy ekisligida uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi turli burchaklar uchun turlicha qiymatga ega, ya’ni o’zgaruvchi miqdordir.
Isbot. Faraz qilaylik barcha uchburchaklar ichki burchklari yig’indisi o’zgarmas ϒ bo’lsin.ABC uchburchakning B uchidan o’tuvchi AC tomonni D nuqtada kesuvchi BD nur o’tkazsak farzaga asosan, S _ABC=
=S _ABD=S _BDC = ϒ bo’lib S _ABD+S _BDC=S _ABC+180º. Demak ϒ+ ϒ= ϒ+180º. Bu esa yuqoridagi teoremaga zid.
Har qanday to’rtburchakni ikkita uchburchakka ajratish mumkin bo’lgani uchun quyidagi 2 ta natijani chiqaramiz:
1.Lobochevskiy tekisligida har qanday to’rtburchak ichki burchaklarining yig’indisi 360º dan kichik bo’lib bu son xar hil to’rtburchaklar uchun xar hildir.
2.Lobochevskiy tekisligida burchak kattaliklari bilan chiziqli kattaliklar orasida bog’lanish mavjud