mavzu. Matritsa tushunchasi. Matritsani elementar almashtirishlar. Matritsaning ustun va satr ranglari (2 soat ma’ruza, soat amaliy mashg‘ulot). Reja

9-mavzu. Matritsa tushunchasi. Matritsani elementar almashtirishlar. Matritsaning ustun va satr ranglari (2 soat ma’ruza, 2 soat amaliy mashg‘ulot).

Reja:
1.Matritsa haqida tushuncha.
2.Matritsaning rangi.
3.Matritsaning ustun va satr (іator) ranglarining tengligi.

Matritsa tushunchasi algebra va sonlar nazariyasi fani uchun muhim tushunchalardan biri hisoblanadi. Shu tushunchaning ayrimlarini mazkur matnda ko‘rib o‘tamiz.

Ta’rif. F maydonning mn ta a_ij(i= ,j= ) elementlaridan tuzilgan ushbu

ko‘rinishdagi jadval F maydon ustidagi matritsa deyiladi.
Matritsa A,B,C,... harflar orqali belgilanadi. a_ij lar matritsaning elementlari deyiladi. Bu elementlarning gorizontal qatori matritsaning satrlari (yo‘llari), vertikal qatorlari esa matritsaning ustunlari deb ataladi.
a_ij element, matritsaning i-satri, j-ustunida turishini bildiradi. Matritsada m>n, m matritsaga n ta satrli, 1 ta ustunli, matritsaga 1 ta satrli, n ta ustunli matritsa deyiladi.
A va V matritsalar berilgan bo‘lib, ularning mos ravishda satrlari va ustunlari soni teng bo‘lsa, u holda A va V matritsalarni nomdosh matritsalar deb yuritiladi.
Agar A matritsaning har bir a_ij elementi V matritsaning unga mos b_ij elementiga teng bo‘lsa, u holda A va V nomdosh matritsalarni teng (aks holda teng emas) deyiladi va uni A=V (AV) ko‘rinishda belgilanadi. Faqat nomdosh matritsalargina teng bo‘lishi mumkin. Nomdosh bo‘lmagan matritsalar umuman teng emas deb hisoblanadi.
A=
matritsaning satrlari m ta n-o‘lchovli gorizontal
(1)
vektorlarni ustunlari n ta m-o‘lchovli vertikal vektorlarni tashkil etadi. Bu vektorlarni gorizontal vektorlardan farq qilish uchun
(2)
ko‘rinishda belgilaylik.
Ta’rif. Matritsadagi satr vektorlar sistemasining rangiga matritsaning rangi deyiladi.
Matritsa rangini aniqlash uchun matritsa ustida elementar almashtirishlar degan tushunchani kiritamiz.
Ta’rif. Matritsani elementar almashtirishlar deb quyidagi almashtirishlarga aytiladi:
Matritsadagi ixtiyoriy ikkita satr (ustun) ning o‘rinlarini almashtirish;
Matritsadagi ixtiyoriy ikkita satr (ustun) elementlarini noldan farqli songa ko‘paytirish;
Matritsaning satr (ustun) elementlarini noldan farqli ixtiyoriy songa ko‘paytirib, boshqa satr (ustun) ning mos elementlarina qo‘shish;
Barcha elementlari nollardan iborat bo‘lgan satr (ustun) ni matritsadan tashlab yuborish;
Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini o‘zgartirmaydi.
Bu teoremaning isboti [1,2] da keltirilgan.
Teorema. Matritsaning satrli vektorlari rangi uning ustunli vektorlari rangiga teng.
Isboti. Ushbu
A=
matritsa berilgan bo‘lsin. A matritsaning mos ravishda gorizontal va vertikal vektorlari
(3)
(4)
bo‘lsin. (3) sistemaning satrli rangini aniqlovchi chiziqli bog‘lanmagan vektorlarini
(5)
(4) sistemaning ustunli rangini aniqlovchi chiziqli bog‘lanmagan vektorlarini
(6)
ko‘rinishda olaylik. (5) va (6) sistemalarning xuddi shu xilda joylashishiga A ning satrlarini o‘zaro va ustunlarini o‘rin almashtirish bilan erishish mumkin. Natijada A ning satrli va ustunli ranglari oldingi teoremaga asosan o‘zgarmaydi. Demak, A matritsaning satrli rangi r ga va ustunli rangi s ga teng bo‘ladi. Endi r=s ekanligini ko‘rsataylik.
1. r (7)
r1,₂,...,_s) ko‘rinishdagi nolmas echimga ega. Demak,
(8)
tengliklar o‘rinli. (₁,₂,...,_s) echim
(9)
sistemani ham qanoatlantiradi, ya’ni
(10)
bo‘ladi. (8) va (10) tengliklar (6) sistemaning chiziqli bog‘langanligini ko‘rsatadi, ya’ni ₁ ¹+₂ ²,...,_s ^s= bo‘ladi. Ammo, bu (6) ning chiziqli bog‘langanligiga ziddir. Shu sababli r2. r>s bo‘lsin. Bu holda (3) va (4) sistemalarning o‘rinlarini almashtirib, rs ning bo‘lishi mumkin emasligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, rs bo‘ladi.
3. rs, rs munosabatlardan r=s munosabat kelib chiqadi.
Tekshirish savollari
F maydon ustidagi matritsa deb nimaga aytiladi?
Matritsaning satri, ustunlari haqida nimalarni bilasiz?
Matritsani elementar almashtirishlar deb nimaga aytiladi?
Matritsaning rangi deb nimaga aytiladi?
Matritsani elementar almashtirishlardan uning rangi o‘zgaradimi?
Matritsaning ustun va satr(yo‘l) bo‘yicha ranglarining tengligi haqidagi teoremani bayon eting.

Tayanch tushunchalar
Maydon. n-o‘lchovli vektorlar va ular ustida amallar.