Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

 
Arifmetik progressiya
. Bu urinda  Raynd papirusidagi 64-masalani olamiz. Bu masalada 10 ulchov 
birligidagi  gallani  10  kishiga  shunday  ulushlarda  bulib  berish  talab  kilinadiki,  natijada  zamonaviy 
til  bilan  aytganda,  ayirmasi  1G`8  ga  teng  bulgan  arifmetik  progressiya  xosil  buladi.  Masalaning 
matni va echimi papirusda kuyidagicha keltiriladi: 
«Ayirmalarning  taksimotiga  misol.  Senga  aytilgan  bulsin:  10  ulchov  arpani  10  kishiga  bulib  ber. 
Xar bir odam bilan uning kushnisi olgan arpa farki 8 bulsin.  Urta ulush 1 ga teng. 10 da 1 ni ayir. 
Bu 9 ga teng. Farkning yarmini  anikla. Bu 16. Undan 9 ta ol. Bu 2 16 ni beradi. Uni urta ulushga 
kush.  Xar bir odam uchun 8 ulchovdan ber, ya`ni ayir.  Bu ishni  to arpa  tamom bulguncha  davom 
ettir.» 
 
[Sungra, xamma 10 ta ulushlar keltiriladi va kushish orkali tekshirish bajariladi. Yigindi 10 

---

 
15 
ga teng bulishi kerak.] 
 
Keltirilgan matnni taxlil kilishga kirishar ekanmiz, bu masalada garchi arifmetik progresiya 
xakida xech kanday gap bormasada, bu masalani  arifmetik progressiya yordamida echiladigan tipik 
masalalardan bittasi deb ta`kidlash tugri  bular edi.   
 
SHu davrda koidalarni yozish uchun xech kanday belgilashlar sistemasi mavjud bulmagani 
uchun,  echimni  sonlar  orkali  ifodalangan.  echish  yuli  esa  anik  kursatib    berilgan.  Uni  zamonaviy 
tilda  kuyidagicha  ifodalash  mumkin:  s  orkali  kamayuvchi  arifmetik  progressiyaning  xadlarining 
yigindisini belgilaymiz. n-orkali uning xadlarini, d bilan esa uning ayirmasini belgilaymiz. (dq8) a
1
, 
a
2
, …, a
n
 –uning xadlari xamda a
1
-eng katta xad bulsin. Masalani echish yuli kuyidagicha: 
1)
 
Urta arifmetik xisoblanadi: 
s:nq10:10q1 
2)
 
Xadlar sonidan 1 ni ayiramiz: 
n-1q10-1q9. 
3) Progressiyaning yarim ayirmasi xisoblanmokda: 
d:2q8:2q16 
4) YArim ayirma bir kam xadlar soniga kupaytirilmokda: 
16
2
)
1
8
(
16
9
16
)
1
(
2






n
d
 
5) Natijani  urta arifmetikka kushilib, birinchi  xad topilmokda: 
.
16
2
1
16
2
1
)
1
(
2
1






n
d
n
s
a
 
6) Kolgan xadlar ketma-ket ayirmani ayrilib topilmokda: 
.
16
8
4
1
8
16
2
1
1
2





d
a
a
 
.
16
4
1
8
16
8
4
1
2
3





d
a
a
 
va xokazo.  
 
Kurinib turibdiki, xisoblashlar asosiga  
)
1
(
2
1



n
d
n
s
a
 
formula kuyilgan.  
 
Kuyilgan masalaning echish yuli shuni kursatadiki, biz bu erdagi masalada a, n, d, s va bu 
mikdorlar urtasidagi munosabatlarning algebraik talkinini kurmaymiz.  
 
Ammo,  biz  eng  oddiy  «arifmetik  fikrlashlar»  bilan  ish  olib  boramiz.  Tugri,  u  xech  erda 
kursatilmagan.  CHunki,  Misrliklar matematik  ishlarining usuli shunday bulgan va uni tiklash  juda 
oson.  
 
Muloxazalar  shubxasiz,  progressiyaning  urta  arifmetik  kiymati  uning  oxirgi  xadlaridan  bir 
xil  masofada  turgan  xadlarning    urta  arifmetik  kiymatiga  aynan  tengligiga  asoslanadi.  bunday 
konuniyat sonli misollarda yakkol kurinadi va xisobchi  bu xolatni bilmasligi mumkin emas.