Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

KS 
terak yer sirti 
AS 
ga perpendikulyar bo‘lsin (6 - shakl). U 
V 
nuqtada singan va bo‘lingan 
uchi 
A 
nuqtada  yerga  tegadi. 
AS 
ma`lum, 
VS 
ni  topish  kerak. 
AVS 
to‘g‘ri  burchakli  uchburchak 
tashqarisiga  doira  chizamiz. 
AVS 
yoyning  o‘rtasi 
D
  nuqtadan 
AB
DE

  va 
AC
DF

  larni
 
o‘tkazamiz. DF- yoyning o‘rtasidan tushirilganligi uchun 
AS 
vatarni teng ikkiga bo‘ladi. U diametr 
bo‘ladi  va 
AV 
diametrni  doira  markazi 
N 
nuqtada  kesadi.  Bunda 

DEN   
va 

AFN 
o‘xshash 
bo‘ladi. 
DH=HA
  bo‘lganidan 
DE=AF 
bo‘ladi.  Aylanadagi  nuqtadan  diametriga  tushirilgan 
perpendikulyar xossasiga asosan 
BE
DE
DE
AE

 
 
 
 
 
 
 (1) 
Lekin   
AC
AF
DE
2
1


 va birinchi teoremaga asosan 

---

 
107 
AE=EV+VS, 
bundan 
2
KC
AE

. U vaqtda   (1)   tenglik 
BE
AF
AE
KC

2
  yoki 
 
BE
AC
AC
KC
2

 
ko‘rinishni 
oladi.  Bunda 
KS 
va 
AS 
berilgan, 
VE 
topiladi. 
AE=VE+VS 
tenglikdan   
VS=AE-VE  =
BE
KC

2
, 
 
ya`ni 
VS 
topiladi. 
2. Ikki qush va baliq haqidagi qadimiy  masala. 
Ikki terak daraxtining balandliklari 
(VK 
va AH) ma`lum bo‘lib, kengligi 
AV 
bo‘lgan ariqning 
ikki qirg‘og‘ida o‘sgan. Suvning yuzida baliq ko‘rinadi. Bu baliqqa har ikki terak uchida turgan ikki 
qush uchib boradiyu va bir vaqtning o‘zida baliqqa yopishadilar. Baliq qo‘ringan joydan ariqning 
qirg‘oqlarigacha bo‘lgan masofalar va har ikki qushning uchgan masofalari aniqlansin. 
Faraz  qilaylik,  ma`lum  uzunlikdagi  teraklar 
AN 
va 
VK, 
ular  ariq  yuziga  perpendikulyar 
bo‘lsin. Baliq ko‘ringan joy 
E 
nuqta bo‘lsin. 
HE, KE 
va 
AE, 
 
VE 
masofalarni topish kerak (7-shakl). 
NE 
va 
KE. 
masofalarni  har  ikki  qush  bir  xil  vaqtda,  bir  xil  tezlik  bilan  uchib  o‘tgani  uchun,  bu 
masofalar teng, ya`ni 
NE=KE 
bo‘ladi.  
BKE

 to‘g‘riburchakli bo‘lgani  uchun 
2
2
2
BE
BK
KE


 
 
va 
AHE

 to‘g‘ri burchakli bo‘lgani uchun  
2
2
2
AE
AH
HE


. Demak, 
2
2
2
2
AE
AH
BE
BK



 
 
 
 
(1) 
Endi 
AD = VK, VD = AN 
va 
AV 
tomonlarga ega bo‘lgan 
AVD 
uchburchakni yasaymiz. 
DE 
ni o‘tkazib, uning 
AV 
tomonga perpendikulyar bo‘lishini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilamiz, 
AV 
ga 
DF 
perpendikulyar bo‘lsin. U vaqtda 
2
2
2
2
BF
AF
BD
AD



 yoki  
2
2
2
2
BF
AF
AH
BK



 
bo‘ladi. Ya`ni 
D
  nuqtadan 
AV 
ga ikkita perpendikulyar o‘tkazilgan bo‘ladi, bu esa mumkin emas. 
Demak, 
DE    AV 
ga  perpendikulyar  bo‘ladi, 

ADV 
ga  tashqi    aylana  chizamiz.     
DBC
AD

 
yoylarni ajratamiz. U vaqtda  ikkinchi    teoremaga 
asosan   
BC
AB
BD
AD



2
2
. 
Rasmdan 
AV=VK, VD= AN 
bo‘lgani uchun 
BC
AB
BD
AD


2
2
  yoki     
BC
AB
AH
BK


2
2
  va   

 

BC
AB
BE
AE
BE
AE
AB
BE
AE






2
2
  va 
AB
BE
AE


  bo‘lganidan 
AE-  VE  =
 
VS   
bo‘ladi.  Bu      keyingi    ikki  tenglikdan, 




BC
AB
BE
BC
AB
AE




2
1
,
2
1
. Bunda 
DB
AD
DB
DC
BC
AB




,
 ma`lum,  
AE 
va 
VE 
topiladi. Demak, 
2
2
2
AE
AH
HE


 va 
HE
KE

 ekani ham topiladi. 
Beruniy  geometriyaga  doir  bu  asarida,  yuqorida  bayon  etilganlardan  tashqari 
trigonometriyaga  doir  ko‘p  formulalarni  aniqlashdan  iborat  masalalarni  yechadi.  Chunonchi  u 
ikkilangan va yarim burchakning sinusini, ikki burchak yig‘indi va ayirmalarning sinusini, hamda 
ikki  burchak  yig‘indisi  yarmining  sinusini  topish  qoidalarini  keltiradi.  Bu  qoidalar  mazkur 
sinuslarni ifodalovchi ayniyatlarga teng kuchlidir. 
3.  «Hind  roshiklari  haqida  kitob»ni  Beruniy  maxsus  arifmetika  masalalariga  bag‘ishlaydi. 
Bunda u o‘rta asarlarda ko‘p tarqalgan uchlik qoidalarini tuzma nisbatlar yordamida asoslaydi. Bu 
qoidalarni  ixtiyoriy  sondagi  miqdorlar  uchun  tatbiq  etadi  va  umumlashgan  qoidalar  beradi. 
Qoidalarni misollar bilan tushuntiradi. Beruniyning bu asari arifmetikaning taraqqiyotida katta rol‘ 
o‘ynaydi.  «Hind  roshiklari  haqida  kitob»ning  qo‘l  yozmasi  Londonda  saqlanmoqda.  Bu  asarni 
uning foto nusxasidan rus tiliga B. A. Rozen-fel‘d tarjima qildi va 1963 yilda nashr etildi. 
4. «Turar joylar orasidagi masofalarni aniqlash uchun manzillarning chegaralarini belgilash» 
risolasini  Beruniy  1025  yilda  yozgan.  Bu  asar  asosan  astronomiya,  matematika,  geografiya  va 
geodeziyaga  bag‘ishlangan  bo‘lib,  sharqshunos  P.  G.  Bulgakov  tomonidan  1963  yilda  Qohirada 
nashr etilgan. 
Beruniy bu asarida yer yuzining odamlar yashaydigan qismini iqlimlarga bo‘ladi. 
Beruniy  geografik  ob`ektlarning  uzunligi  va  kengligini  aniqlash  usulini  ishlab  chiqadi
, 
Joylarning  geografik  koordinatalarini  aniqlash  masalasi  haqida  yunon  olimlari  va  ulardan  keyingi 
olimlar  tomonidan  yozilgan  asarlarni  Beruniy  qunt  bilan  o‘rgandi.  Bu  asarlarni  bir-biri  bilan 

---

 
108 
taqqosladi. Ularning keltirgan ma`lumotlarini o‘zi olib borgan kuzatishlar va olingan natijalar bilan 
solishtirdi. Bu sohada avvalgi olimlar tomonidan yo‘l qo‘yilgan ba`zi xatoliklarni tanqid qildi. 
Beruniy  butun  umri  bo‘yi  ilmiy  kuzatishlarga  katta  e`tibor  berib,  ularni  sabot  va  aniqlik 
bilan  o‘tkazar,  o‘ziga  va  boshqalarga  nisbatan      talabchan  olim  bo‘lgan.  Atoqli  olim,  joylarning 
kenglik  va uzunliklarini aniqlashda original metodlar ishlab chiqdi. 
Beruniy shaxsan o‘zi o‘lchashlar o‘tkazib, bir qancha shaharlarning geografik kengliklarini 
hisobladi.  Masalan,  G‘aznaning  kengligi  33°35',  Qobulniki  33°47';  Qandaniki  33°55';  Dunpurniki 
34°20'. Uning hisoblashlariga ko‘ra Buxoro shahrining kengligi 39°20' deb topilgan. Hozirgi vaqtda 
esa bu qiymat 39°46' hisoblanadi. Demak, bunda Beruniy hisoblashlari faqat 0°26' farq qiladi. 
Beruniy tomonidan olib borilgan astronomik va geodezik hisoblashlarning aniqligi, uning bu 
sohadagi  tekshirish  usullari  juda  puxta  ekanligini  ko‘rsatadi.  Bu  esa  O‘rta  asrlarda  bu  fanlar 
sohasida yerishilgan eng katta yutuqlardan hisoblanadi. 
Olimlar tomonidan olib borilgan keyingi tekshirishlarda, Beruniy asarlarida O‘rta Osiyoning 
bir necha shaharlarining geografiyasi va geologiyasi, masalan, qadimiy Xorazm geologiyasi bayon 
etilganligini,  Amudaryo  oqimining
 
o‘zgarishini  tushuntirish,  Xo‘jand,  Termez  va  boshqa 
shaharlarning  geografik  sharoitlari  haqida  O‘rta  asrlar  faniga  doir  qimmatli  ma`lumotlar  borligi 
aniqlandi. 
5.  «Sferik  sirtning  tekislikdagi  proektsiyasi»  nomli  risola  olimning  «Qadimgi  xalqlardan 
qolgan  yodgorliklar»  asarining  bir  bo‘limi  sifatida  bayon  etilgan.  Bu  asar    kartografik  proektsiya 
masalalariga  bag‘ishlangan. Bunda yulduzlar osmonini tekislikda tasvirlash, yer sirtini xaritalarda 
tasvirlash  va  astrolyabiya    yasashda    qo‘llanadigan    sferani    tekislikka    proektsiyalash  masalalari 
bayon  etilgan.  Beruniy  tomonida»  tatbiq  etilgan  uch  holdan    birinchi  holdagi    proektsiyalash  — 
stereografik  proektsiyadan  iborat  bo‘lib,    bunday  proektsiya  yunon  olimlari  Gipparx    (eramizdan 
oldingi II asr)  va Ptolemey  (II asr)  tomonidan qo‘llanilgan. 
Ikkinchi  holdagi  proektsiyalash  usulini  esa  Beruniyning  o‘zi  ishlab  chiqqan.  Uchinchi 
holdagi  proektsiyalash  usuli  Beruniy  zamondoshi  as-Sag‘oni,  tomonida»  ishlab  chiqilgan  bo‘lib, 
Beruniy bu metodni astrolyabiya konstruktsiyasini yasashda qo‘llanadi. 
Bulardan tashqari bu asarda Beruniy, proektsiyalashning yangi bir turini ham bayon etganki, 
bu yarim sferaning tekislikdagi tasvirini yasashda juda qulay usul hisoblanadi. 
6.    «Qimmatbaho  toshlar  haqida  ma`lumotlar  to‘plami»  kitobi  minerallar        va  metallarni 
o‘rganishga bag‘ishlangan. Bu asarni Beruniy 1048 yilda yozib tamomlagan. Uzoq vaqtlargacha bu 
asar  faqat      bir  necha  qo‘l  yozma  shaklida        ma`lum  edi.  Uning