Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

AV> VS   
bo‘lsa va 
AB
DE
BC
AD


,
 bo‘lsa, u vaqtda 


EBC
AE
EV 
+ 
VS 
bo‘lishini  isbotlash  kerak  (3-shakl).  Shuni  aytish  kerakki,  bu  teoremani 
Beruniy  „Qonuni  Mas`udiy"  asarining  III  maqolasida  turli  trigonometrik  formulalarni  isbotlash 
uchun keng ravishda tatbiq etadi. Shu sababli, Beruniy ―Doiradagi vatarlarni aniqlash" risolasida bu 
teoremaga  katta  ahamiyat  berib,  uning  Arximed  tomonidan  berilgan  uch  xil  isbotini  va  boshqa 
matematiklar bergan 20 xil isbotlarini   qeltiradi. 
Bular  orasida  Abul  Hasan  (O‘rta  osiyolik  matematik,  Beruniyning  do‘sti),  Abu  Said  al-
Jurjoniy (IX asrda yashagan Jurjonlik olim), Abu Ali ibn al-Haysam (965—1039, Basrlik, mashhur 
matematik), Beruniyning o‘zi bergan 8 xil isboti va ustozi Abu Nasr ibn Iroq bajargan isbotlar bor. 

---

 
106 
Arximed teoremasining ayrim isbotlari  
1. Arximed   isboti:   DB
   
yoyiga  teng   DH
 
yoyini ajratamiz (4-shakl),  DH
 
va   DB
  
kesmalarni   
o‘tkazamiz, 
EG=EB 
ni
 
ajratamiz,  DG
 
va  D
A 
ni  o‘tkazamiz.  U    vaqtda      DE
       
umumiy    
perpendikulyar    bo‘lganidan 
DB=DG 
bo‘ladi. Shartga ko‘ra  
DA
DC

 bo‘lgani va undan tashqari 
DH
DB

 bo‘lgani uchun, 
BC
AH

 
 
bo‘ladi. 
ADN 
va 
NAD   
burchaklarning yig‘indisi  D
VA 
yoki 
DGB burchakka teng. Lekin 
DGB

. 
Shuning uchun    

GDA
 =

NDA   
bo‘lib,   
DG=DH  
va 
DA
   
umumiy    tomon     bo‘lganidan,    bu   uchburchaklarda 
AG=  AN 
bo‘ladi. Ammo 
AN=VS 
bo‘lgandan 
AG=BC 
bo‘ladi.  G
E  =  EV 
bo‘lgani  uchun, 
AG
+  G
E=VS 
+ 
EV 
va 
AE  =  EV 
+ 
VS 
bo‘ladi. Mana shuni isbotlash kerak edi.  
2.  Beruniy    isboti:  D
KO 
diametrni   o‘tkazamiz (5-shakl).  D
E   
ni  L
 
nuqtagacha      davom   
ettiramiz.   DL
 
ga parallel 
ON 
ni
 
o‘tkazamiz. 
OAH
DCL

 bo‘ladi. 
ND 
ni   o‘tkazamiz. U vaqtda 
FHD 
to‘g‘ri burchak (diametrga tiralgan) va demak, 
DEFH  
to‘g‘ri  to‘rtburchakdir. Bunda 
HD=FE
 
va  KS||ED 
 
o‘tkazamiz. 
K   
markazdan  tushirilgan      KS
   
kesma     
AV 
va    HD
   
vatarlariga   
perpendikulyar bo‘lgani uchun, ularni   teng  ikkiga   bo‘ladi, ya`ni HS=SD
 
va   shuning   uchun  
FM=ME.
  
Demak,   qoldiq  kesmalar   AF=EB
  
va 
ND = FE, 
demak, HD=BC
.   
Bundan   FE=BC 
bo‘lib, ularga   
AF 
va 
EV 
o‘zaro teng kesmalar qo‘shilsa, AE=EB+BC bo‘ladi.  
Arximed  teoremasining  turli  xil  isbotlarini  bayon  etgandan  so‘ng,  Beruniy  siniq 
chiziqlarning  xossalarini  ifodalovchi  yana  bir  necha  teoremalarni  keltirib,  ularning  ham  IX  —  XI 
asr  matematiklari  tomonidan  berilgan  18  xil  isbotlarini,  shuningdek  o‘zi  bajargan  isbotlarni  ham 
bayon etadi. 
So‘ngra Beruniy bu asarda   geometrik   yasashga doir qator masalalarni yechadi. Bulardan 
quyidagilarni keltiramiz. 
1. Ma`lum uzunlikdagi terak yer sirtiga perpendikulyar holda o‘sib turgan edi. U shamolda 
sindi va shun day bukildiki, uchi yerga tegdi. Terakning tagidan uning yerga tegib turgan uchigacha 
bo‘lgan masofa ma`lum. Terak singan joyining balandligini topish kerak.