Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

by
ax
  shaklidagi 
aniqmas  tenglamaga  keltiriladi  va  ularning  butun  echimlari  topiladi.  Ikkinchi  gruppa  masalalari 
d
by
ax


 ko‘rinishdagi tenglamaga, uchinchi gruppa masalalari bir noma‘lumli ax=b  tenglama 
shakliga keltiriladi va hal etiladi. To‘rttinchi gruppa masalalari esa arifmetik usulda hal etiladi 
Demak, Xorazmiy matematika tarixida birinchi bo‘lib algebra fanidan kitob yozdi va o‘z 
kitobida  kvadrat  tenglamalarning  klassifikastiyasini  berdi.  Xorazmiygacha  kvadrat  tenglamalarni 
echish  uchun  umumiy  qoida  bo‘lmagan.  Xorazmiy  birinchi  bo‘lib,  bunday  qoidani  berdi,  isbotini 
ko‘rsatdi.  Xorazmiy  algebra  fanini  asoslovchi  matematik  olim  bo‘lib,  algebrani  al-jabr  val-
muqobala hisoblashlaridan iborat fan deb hisoblanadi. 

---

 
88 
XI  asrda  yashagan  mashhur  matematik  Umar  Xayyom  Xorazmiyning  fikrlarini  dvom 
ettirib, o‘zinng algebradan yozgan asarlrida alebra tenglamalarni echish haqidagi fan deb t‘rifberadi. 
Hozirgi zamon algebrasi – algebraik ko‘p hadliklar haqidagi ta‘limot chegarasidan chiqib, 
ancha  kengaygan  bo‘lsa  ham,  ko‘p  asrlar  davomida    va  hozir  ham  algebra,  asosan  tenglamalar 
echish masalalari bilan shug‘ullanadi. 
B.A.Rezenfeldning arab tilidagi qo‘lyozmaning fotonusxasidan rus tiliga qilgan tarjimasi, 
Xorazmiyning arifmetik asari bilan birgalikda qilgan tarjimasi, Xorazmiyning arifmetik asari bilan 
birgalikda  1961  yilda  Toshkentdagi  ―Fan‖  nashriyotida  ―Matematicheskie  traktati‖  nomi  bilan 
bosilib chiqdi. 
Xorazmiyning algebraik asaridan keyin Sharqda algebra fani keng taraqqiy etadi. Masalan, 
X-XI  asrlarda  abbul  Vafo  Xorazmiyning  algebrasini  to‘ldirib,  yangi  usullar  kiritish  bilan  alohida 
asarlar  yozadilar.  Umar  Xayyom  esa  Xorazmiy  asarini  taraqqiy  ettirib,  o‘zining  algebraga  doir 
asarida, uchinchi darajali tenglamalarni  geometrik echish usulini bayon etadi. Xorazmiydan keyin 
O‘rta  asr  Sharq  olimlari,  Xorazmiyning  algebrasini  taraqqiy  ettirish  va  rivojlantirish  bilan 
matematikaga  o‘z  xissalarini  qo‘shadilar  va  natijada  Sharqda  algebra  bir  xil  sistemada  bayon 
etiladigan matematik fan sifatida shakllanib, takomillashadi. 
Xorazmiyning algebraik asari, asosan, uch bo‘limdan iborat bo‘lib: birinchi bo‘limda al-
jabr  va  al-muqobala  yordamida  birinchi  va  ikkinchi  darajali  bir  noma‘lumli  tenglamalarni  echish, 
rastional va irrastional ifodalar bilan amallar bajarish hamda tenglama yordamida sonli masalalarni 
echish yo‘llari beriladi. Ikkinchi bo‘lim geometriyaga tegishli bo‘lib, bunda miqdorlarni o‘lchashga 
doir masalalarga algebraning ba‘zi bir tatbiqlari ko‘rsatiladi. Uchinchi bo‘limda algebraning amaliy 
tatbiqi, ya‘ni meros bo‘lishga doir masalalar beriladi. 
Muhammad  Xorazmiy  algebraik  asarining  kirish  qismida  fan  taraqqiyotiga  o‘tmishdagi 
olimlarning  qo‘shgan  xissasi,  o‘z  asarining  ahamiyatini  gapirib,  uning  algebra  va  al-muqobala 
haqidagi qisqacha kitobi arifmetikaning  sodda va murakkab masalalarini o‘z ichiga olganligini va 
ular meros ulashish, vasiyat tuzish, mol dunyo taqsimlash uchun va sud hamda savdo ishlarida, er 
o‘lchashlarda, kanallar o‘tkazish va yuza o‘lchashlarda zarurligini ta‘kidlaydi. 
Xaqiqatdan,  Xorazmiy  asari,  o‘z  mazmuni  bilan  nazariyaning  elementlarini  o‘z  ichiga 
olgan amaliy matematikaning bir qismidir. 
Xorazmiy  o‘z  algebrasida  uch  xil  miqdorlar  bilan  amallar  bajaradi,  bular  ildizlar, 
kvadratlar  va  oddiy  son.  So‘ng  bu  miqdorlarning  har  biriga  tushuncha  beradi.  Ildiz  –  har  qanday 
noma‘lum  narsa;  kvadrat  ildizning  o‘zini-o‘ziga  ko‘paytmasi;  oddiy  son  –  ildizga  va  kvadratga 
tegishli bo‘lmagan har qanday son. 
Xorazmiy shu uch ko‘rinishdagi miqdorlarni ikkitadan bir-biriga teng bo‘lishida quyidagi 
uch xil ko‘rinishdagi munosabatni tuzish mumkin deb, aytadi. 
1)
 
kvadratlar ildizlarga teng: ax
2
=bx 
2)
 
kvadratlar songa teng: ax
2
=c 
3)
 
ildizlar songa teng: bx=c 
Yuqoridagi  birinchi  darajali  bir  noma‘lumli  va  chala  kvadrat  tenglamalarni  echish 
qoidasini  ko‘rsatgandan  so‘ng  u,  shunday  iboralar  bilan  quyidagi  to‘la  kvadrat  tenglamalarni 
ko‘rsatadi. 
4)
 
kvadrat va ildizlar songa teng: ax
2
+bx=c 
5)
 
kvadratlar va son ildizlarga teng: ax
2
+c=bx 
6)
 
ildizlar va son kvadratlarga teng: bx+c=ax
2
;  bundagi a, b va c lar musbat sonlar. 
Shu  tipdagi  kvadrat  tenglamalarning  musbat  ildizini  topish  qoidasi  IV-VI  boblarda 
koefistientlari son bo‘lgan tenglamalarni echish bilan hal qilinadi va bu qoidaning to‘g‘ri ekanligi 
geometrik metod bilan VII-X boblarda isbot qilinadi. 

---

 
89 
Shu  davrda  manfiy  son  haqida  tushuncha  bo‘lmaganligi  uchun  Xorazmiy  tenglamalarni 
yuqori ko‘rsatilgan olti xil musbat koefistientli sodda ko‘rinishda klassifikastiya qiladi va ularning 
musbat echimini topishni ko‘zda tutadi. Shu tartibda klassifikastiya qilishni Xorazmiydan keyingi 
davrlarda O‘rta asr Sharq matematiklari sobit ibn Qurra, Abu komil, Hosib Karxiy, umar Xayyom 
va Jamshid Koshiylar tomonidan yozilgan asarlarda ham ko‘rish mumkin. 
Xorazmiy asarining noimdagi ―Al-Jabr va al-Muqobala‖ iborasiga uning zamondoshlari va 
undan keyingi Sharq olimlari  ham izoh bera boshlaydilar. Nihoyat O‘rta asr Sharq matematiklari 
bu  iborani  quyidagicha  talqin  qiladilar:  ―al-jabr‖  (―tiklash‖)  –  shunday  operastiyaki,  uning 
yordamida, agar tenglamada ayriluvchi had ishtirok etsa, miqdor jihatdan unga teng bo‘lgan hadni 
tenglamaning  ikkala  qismiga  qo‘shish  bilan  ayiriluvchi  hadni  tenglamaning  ikkinchi  tomoniga 
qo‘shiluvchi  qilib  o‘tkaziladi.  ―Al-muqobala‖  (―ro‘para  qo‘yish‖)  –  operastiyasi  yordamida 
tenglamaning  ikkala  qismida  bir  xil  jinsli  (o‘xshash)  had  bo‘lsa,  bularning  umumiy  qismi 
tashlanadi. 
Demak,  al-jabr  va  al-muqobala  operastiyalari  yordamida  berilgan  tenglamani  yuqorida 
ko‘rsatilgan oltita ko‘rinishdagi manfiy had ishtirok etmagan sodda tenglmaga keltiriladi.