Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

10.Doiralar bilan bog`liq bo`lgan nisbatlarning xossalariga doir asosiy geometrik
masalalarga bag`ishlangan bob.
Bu bobda oldin bayon  etilgan nisbatlar nazariyasini tadbiq  etish natijasida bir yoki ikki
doiradagi burchaklar va yoylarining nisbatlari, aylanaga ichki chizilgan o`xshash shakillarning
xossalari xaqidagi teoremalar va ularning isbotlari bayon etilgan.
11.Doiralardagi vatarlarning xossalariga doir asosiy geometrik
masalalar to`g`risidagi bob.
Bu bobda, doiraning shunday vatarlari aniqlanadiki, ular ichki chizilgan teng tomonli
uchburchak, oltiburchak, beshburchak va o`nburchaklarning tomonlari bo`ladi. Bular quyidagi
teoremalarda bayon etilgan:
1-teorema. Aylananing oltidan bir bo`lagini tortib turuvchi vatar aylananing yarim
diametriyaga tengdir.
Isboti: AVSD doira berilgan bo`lsin (12 shakl).

---

39
Uning markazi E nuqta va yarim diametri ES bo`lsin, S markazdan ES masofada ikkinchi
aylana yasaymiz. U birinchi aylanani A va D nuqtalarda kesadi. AE, AS,  DE va DS vatarlarni
o`tkazamiz. U vaqtda ASE va DSE uchburchaklar teng tomonli bo`ladi. Bu uchburchaklarning xar
ichki burchagi, to`g`ri burchakning 2G`3 bo`lagiga teng. SE ni V nuqtagacha davom  ettiramiz. U
vaqtda AEV burchagiga tug`ri burchak bilan uning uchdan bir bo`lagiga teng. DEV burchagi xam
shunga teng bo`ladi. Bu burchaklarni EG` va EN chiziqlar bilan teng ikkiga bo`lamiz. Oltita o`zaro
teng burchaklar, oltita yoylar va oltita vatarlar xosil bo`ladi. Vatarlarning xar biri AS ga teng, bu esa
ES ga teng, demak yarim diametrga teng. Teorema isbotlandi.
2-teorema. Agar teng tomonli uchburchak doiraga ichki chizilgan bo`lsa, u xolda uning biror
tomonining o`ziga ko`paytmasi doira yarim diametrning o`ziga ko`paytmasining uch barovariga
tengdir.Isboti: AVS uchburchak teng tomonli va ichki chizilgan bo`lsin:
D markazdan VS tomonga perpendikulyar
tushirib, uni aylana
bilan kesishguncha ikki
tomonga davom  ettiramiz. Bu perpendikulyar VS
yoyini E nuqtada teng ikkiga bo`ladi. E va S
nuqtalarni tushiramiz. U vaqtda AS ning o`ziga
kupaytmasi bilan ES ning o`ziga kupaytmasi AE
ning o`ziga ko`paytmasiga teng bo`ladi, bo` esa DE
ni o`ziga ko`paytmasining to`rt baravariga teng.
Bundan DE ning o`ziga ko`paytmasini, ya`ni SE
ning o`ziga ko`paytmasini, ya`ni SE ning o`ziga
ko`paytmasini ayirsak, AS ning o`ziga ko`paytmasi
qoladi va bu DE ning o`ziga ko`paytmasining uch
baravariga teng. Demak, ichki chizilgan uchburchak
tomonining o`ziga ko`paytmasi, yarim diametrining
o`ziga ko`paytmasining uch baravariga teng, ya`ni
hozirgi belgilashlarga ko`ra:
3-teorema. Agar VS to`g`ri chiziq aylananing o`ndan bir bo`lagini tortib turuvchi vatar
bo`lsa (14-shakl)
SD aylananing oltidan bir bo`lagining vatari bo`lib, VS davomida, aylana tashqarisida
joylashgan bo`lsa, u xolda VS ning DS ga
nisbati, DS ning DV ga nisbatiga tengdir.
Isboti.
Faraz
qilaylik,
E
nuqta
aylananing
markazi
bo`lsin.
EV
va
ES
radiuslarni o`tkazamiz. ES ni A nuqtagacha
davom  ettiramiz. U xolda u diametr bo`ladi.
AEV
burchagi
VES
burchagining
to`rt
baravariga teng. CHunki AV yoyi VS yoyining
to`rt baravariga teng. AEV burchagi ikkita ESV
burchagiga
teng.
ESV
burchagi,
ikkinchi
tomondan ikkita ED burchagiga teng. CHunki
SDE uchburchagining yon tomonlari SE va SD
ning har biri aylana oltidan bir bo`lagining
vatari hisoblanadi. SHu sababli VES va EDS
burchaklari o`zoro teng. Demak, VES va VED
uchburchaklarining burchaklari mos ravishda
teng va uchburchaklar uxshashdir. SHuning

---

40
uchun ularning mos tomonlari VS ning VE ga nisbati, VE ning VD ga nisbatiga teng. Lekin VE q
SD, ya`ni Vs ning DS ga nisbati DS ning DV ga nisbatiga teng. Teorema isbotlandi.
4-teorema. Agar VS ning SD ga nisbati SD ning VD ga nisbatiga teng bo`lsa va SD
aylananing oltidan bir bo`lagi vatari bo`lsa, u vaqtda SV hamma vaqt aylananing o`ndan bir
bo`lagining vataribo`ladi(14-shakl).
Isboti: agar SD ga teng SE olib, shu masofada aylana chizsak va chizmani to`ldirsak, u
vaqtda VDE uch burchakdan VD ning VSE uchburchakdan VE ga nisbati VDE uchburchakdan VE
ning VSE uchburchakdan VSga nisbatiga teng bo`ladi. V burchak bu uchburchaklar uchun umumiy.
SHuning uchun VED va VES uchburchaklar o`xshash bo`ladi. Demak, EVS burchagi D
burchagining ikki baravariga teng va EVS burchagi VES burchagining ikki baravariga teng. Demak,
U VES burchagi tiralgan yoyining to`rt baravariga teng. SHuning uchun AV yoyi VS yoyining
to`rt baravariga teng, ya`ni VS aylana o`ndan bir bo`lagining vatari bo`ladi. Teorema isbotlandi.