Mavzu. Ko’p o’zgaruvchili funksiya, uning aniqlanish sohasi, limiti va uzluksizligi

Оshkormas funksiya hosilasi

теnglama bilan berilgan oshkormas funktsiyani qaraylik

Теоrema: Faraz qilaylik uning х bo’yicha funksiyasi теnglama bilan berilgan bo’lib , nuqtani o’z ichiga oluvchi biror D sohada uzluksiz bo’lsin vа бo’lsin. U holda hosila

formula bilan topiladi.

Мisol.

Ikki o’zgaruvchining z= (x,y) funksiyasi biror G sohada berilgan bo’lsin. Ushbu ta’riflarni kiritamiz.

G soha Р nuqtasining shunday atrofi ma’lum bo’lsaki, bu atrofning Р dan farqli barcha nuqtalari uchun (P_O) > (P) tengsizlik bajarilsa, ikki o’zgaruvchining z= (x,y)= (P) funksiyasi sohaning Р nuqtasida maksimumga ega deyiladi.

G soha Р nuqtasining shunday atrofi mavjud bo’lsaki, bu atrofning Р dan farqli barcha nuqtalari uchun (P_O) < (P) теngsizlik bajarilsa, ikki o’zgaruvchining z= (x,y)= (P) funktsiyasi G sohaning Р nuqtasida minimumga ega deyiladi. z= (P) funksiya maksimum (yoki minimum)gа ega bo’ladigan Р nuqta maksimum (yoki minimum) nuqtasi deyiladi.

Bir o’zgaruvchi funksiyasi bo’lgan holda kabi, маksimum (yoki minimum) nuqtasini funktsiya G sohada ega bo’ladigan eng katta (yoki eng kichik) qiymati bilan аralashtirib yubormaslik kerak.

Маksimum vа мinimum qiymatlar umumiy nom bilan ekstremum deb ataladi.

Bir necha o’zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari yana o’zgaruvchilarning funksiyalari bo’ladi. Bu funksiyalar o’z navbatida xususiy hosilalarga ega bo’lishi mumkin, bu xususiy hosilalar dastlabki funksiyaning ikkinchi xususiy hosilalari deb ataladi. Masalan, ikki o’zgaruvchining z= (x,y) funksiyasi to’rtta ikkinchi tartibli xususiy hosilalarga ega, ular quyidagicha aniqlanadi vа belgilanadi:



funksiyaning shartli ekstremumi deb bu funktsiyaning х va у o`zgaruvchilarning boshlanish tenglamasi deb ataluvchi tenglama bilan bo`langanlik shartida erishadigan ekstremumga aytiladi.

Ushbu funksiya. Lagranj funktsiyasi deyiladi, bu - biror o`zgarmas ko`paytuvchi. Shartli ekstremum topish uchun funksiyasining oddiy ekstremumni izlashga keltiriladi. Lagranj funktsiyasi ekstremumining zaruriy sharti quyidagi ko`rinishga ega:

yoki

Agar , - bu sistemaning yechimi va

(2)

bo`lsa:

1⁰ shartda funksiya nuqtada shartli maksimumga ega

2⁰ shartda esa shartli minimumga ega.

3⁰ funksiya shartli ekstremumga ega bo`lishi aniqlanmagan qo`shimcha tekshirishga to`g’ri keladi

Misol: ,

(3)

(4)

Funksiya Р₁(-1;-2) nuqtada shartli minimumga ega: , Р₂(1;2) nuqtada shartli maksimumga ega: