Mavzu: “koordinatalar sistemasining qo’llanilishi” Bajardi: Yerkebayeva Maftuna

1-BOB. Tekislikda dekart kordinatalar sistemasi
1.1 Kordinatalar va o’lchovlar.
Koordinatalar-ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini harakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi. Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik o’rni deb qarab, shu obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik ma’nosini aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda joylashishini o’rganadi.
Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik o’rnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil tongan deb qarash mumkin.
Shuning uchun geometrik shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning o’rni deb qarash mumkin.
Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi o’rni sonlar yordamida aniqlanadi. Nuqtaning o’rnini aniqlovchi sonlar uning koordinatalari deyiladi.
Bir o'lchov
Bir o'lchovli maydon uchun, ya'ni to'g'ri chiziq uchun dekartian koordinatalar tizimini tanlash nuqta tanlashni o'z ichiga oladi O chiziqning boshlanishi (uzunlik birligi) va chiziq uchun yo'nalish. Yo'nalish ikkita yarim chiziqdan qaysi biri tomonidan aniqlanganligini tanlaydi O ijobiy, ijobiy esa; shunda biz "salbiy yo'nalish" (yoki "nuqtalar") chizig'ining salbiy yarmidan ijobiy yarmiga qarab borishini aytamiz. Keyin har bir nuqta P chiziqning masofasi bilan belgilanishi mumkin O, qaysi yarim satrga qarab + yoki - belgisi bilan olingan P.
Tanlangan dekart sistemasi bilan chiziq a deb ataladi raqamlar qatori. Har bir haqiqiy raqam chiziqda o'ziga xos joyga ega. Aksincha, chiziqdagi har bir nuqta a sifatida talqin qilinishi mumkin raqam haqiqiy sonlar kabi tartiblangan doimiylikda.
Ikki o'lchov
Qo'shimcha ma'lumotlar: Ikki o'lchovli bo'shliq
Ikki o'lchovdagi dekartian koordinatalar tizimi (shuningdek, a deb ham nomlanadi to'rtburchaklar koordinatalar tizimi yoki an ortogonal koordinatalar tizimi) bilan belgilanadi buyurtma qilingan juftlik ning perpendikulyar chiziqlar (o'qlar), bitta uzunlik birligi ikkala eksa uchun va har bir o'q uchun yo'nalish. O'qlar to'qnashgan nuqta ikkalasi uchun ham boshlang'ich sifatida qabul qilinadi va shu bilan har bir o'qni raqamlar qatoriga aylantiradi. Har qanday nuqta uchun P, chiziq chiziladi P har bir o'qga perpendikulyar va u o'qga to'g'ri keladigan joy raqam sifatida talqin etiladi. Tanlangan tartibda ikkita raqam quyidagicha Dekart koordinatalari ning P. Teskari konstruktsiya nuqta aniqlashga imkon beradi P uning koordinatalarini hisobga olgan holda.
Birinchi va ikkinchi koordinatalar deyiladi abstsissa va ordinat ning Pnavbati bilan; va o'qlar to'qnashadigan nuqta deyiladi kelib chiqishi koordinata tizimining Koordinatalar odatda qavs ichida ikkita raqam sifatida, tartibda vergul bilan ajratilgan holda yoziladi (3, −10.5). Shunday qilib kelib chiqish koordinatalariga ega (0, 0) va boshidan bir birlik uzoqlikda joylashgan musbat yarim o'qlarning nuqtalari koordinatalarga ega (1, 0) va (0, 1).
Matematikada, fizikada va muhandislikda odatda birinchi o'q gorizontal va o'ngga yo'naltirilgan, ikkinchi o'q esa vertikal va yuqoriga qarab belgilanadi yoki tasvirlanadi. (Ammo, ba'zilarida kompyuter grafikasi kontekstlar, ordinatalar o'qi pastga yo'naltirilgan bo'lishi mumkin.) kelib chiqishi ko'pincha etiketlanadi O, va ikkala koordinatalar ko'pincha harflar bilan belgilanadi X va Y, yoki x va y. Keyinchalik o'qlarni "." Deb atash mumkin X-aksis va Y-aksis. Harflarni tanlash asl konvensiyadan kelib chiqadi, ya'ni alifboning ikkinchi qismi noma'lum qiymatlarni ko'rsatish uchun ishlatiladi. Alfavitning birinchi qismi ma'lum qadriyatlarni belgilash uchun ishlatilgan.
A Evklid samolyoti tanlangan dekart koordinata tizimi bilan a deyiladi Dekart tekisligi. Dekart tekisligida ba'zi geometrik figuralarning kanonik vakillarini aniqlash mumkin, masalan birlik doirasi (uzunlik birligiga teng radiusi va boshida markaz), birlik kvadrat (uning diagonali so'nggi nuqtalarga ega (0, 0) va (1, 1)),  birlik giperbolasi, va hokazo.
Ikki o'qi tekislikni to'rtga bo'linadi to'g'ri burchaklar, deb nomlangan kvadrantlar. Kvadrantalar har xil usulda nomlanishi yoki raqamlanishi mumkin, ammo barcha koordinatalar ijobiy bo'lgan kvadrant odatda "chaqiriladi" birinchi kvadrant.
Agar nuqta koordinatalari bo'lsa (x, y), keyin uning masofalar dan X-aksis va Y-aksislar |y| va |xmos ravishda | qaerda | ... | belgisini bildiradi mutlaq qiymat raqamning.
Uch o'lchov
Qo'shimcha ma'lumotlar: Uch o'lchovli bo'shliq

Kelib chiqishi bilan uch o'lchovli dekartiyali koordinatalar tizimi O va eksa chiziqlari X, Y va Z, o'qlar ko'rsatilgandek yo'naltirilgan. Baltalardagi belgi bir-biridan bir uzunlikda joylashgan. Qora nuqta koordinatali nuqtani ko'rsatadi x = 2, y = 3va z = 4, yoki (2, 3, 4).
Uch o'lchovli bo'shliq uchun dekartiyali koordinatalar tizimi tartiblangan uchlik chiziqlardan iborat o'qlar) umumiy nuqtadan o'tadigan (the kelib chiqishi), va juftlik jihatidan perpendikulyar; har bir o'q uchun yo'nalish; va uchta o'q uchun bitta uzunlik birligi. Ikki o'lchovli holatda bo'lgani kabi, har bir o'q o'q soniga aylanadi. Har qanday nuqta uchun P kosmosdan biri giperplanetni ko'rib chiqadi P har bir koordinata o'qiga perpendikulyar va shu giperplane o'qni son sifatida kesgan nuqtani sharhlaydi. Dekart koordinatalari P tanlangan tartibda uchta raqam. Teskari qurilish nuqta belgilaydi P uning uchta koordinatasini hisobga olgan holda.
Shu bilan bir qatorda, nuqtaning har bir koordinatasi P dan masofa sifatida qabul qilinishi mumkin P mos keladigan o'qning yo'nalishi bilan belgilanadigan belgi bilan, boshqa ikkita o'q bilan aniqlangan giperplanaga.
Har bir o'qning juftligi a ni aniqlaydi koordinatali giperplan. Ushbu giperplaneslar fazoni sakkizga bo'lishadi trihedra, deb nomlangan oktantlar.
Oktantlar: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |
Koordinatalar odatda uchta raqam (yoki algebraik formulalar) shaklida qavslar bilan o'ralgan va vergul bilan ajratilgan holda yoziladi. (3, −2.5, 1) yoki (t, siz + v, π / 2). Shunday qilib, kelib chiqish koordinatalariga ega (0, 0, 0), va uchta o'qning birlik nuqtalari (1, 0, 0), (0, 1, 0) va (0, 0, 1).
Uchta o'qda koordinatalar uchun standart nomlar mavjud emas (ammo shartlar abstsissa, ordinat va murojaat qilish ba'zan ishlatiladi). Koordinatalar ko'pincha harflar bilan belgilanadi X, Yva Z, yoki x, yva z. Keyinchalik o'qlarni "." Deb atash mumkin X-aksis, Y-aksis va Ztegishlicha. Keyin koordinatali giperplaneslarni XY- samolyot, YZ- samolyot va XZ- samolyot.
Matematikada, fizikada va muhandislik sharoitida dastlabki ikkita o'q ko'pincha belgilanadi yoki gorizontal, uchinchi o'qi yuqoriga qarab tasvirlangan. U holda uchinchi koordinatani chaqirish mumkin balandlik yoki balandlik. Yo'nalish odatda birinchi o'qdan ikkinchi o'qga 90 graduslik burchakka qarab, soat millariga teskari ko'rinadigan qilib tanlanadi. (0, 0, 1); odatda chaqiriladigan konventsiya o'ng qo'l qoidasi.

Koordinatali yuzalar dekart koordinatalari (x, y, z). The z-aksis vertikal va x-aksiya yashil rang bilan ajratilgan. Shunday qilib, qizil giperplane nuqtalarni ko'rsatadi x = 1, ko'k giperplane bilan nuqtalarni ko'rsatadi z = 1, va sariq giperplane bilan nuqtalarni ko'rsatadi y = −1. Uchta sirt nuqtada kesishadi P dekart koordinatalari bilan (qora shar shaklida ko'rsatilgan) (1, −1, 1).
Yuqori o'lchamlar
Dekart koordinatalari noyob va noaniq bo'lgani uchun, dekartiya tekisligining nuqtalarini juftlar bilan aniqlash mumkin haqiqiy raqamlar; bu bilan Dekart mahsuloti , qayerda barcha haqiqiy sonlar to'plamidir. Xuddi shu tarzda, har qanday narsada ballar Evklid fazosi o'lchov n bilan identifikatsiya qilish koreyslar (ro'yxatlar) ning n haqiqiy sonlar, ya'ni dekart mahsuloti bilan.

1.2 Dekart koordinatal sistemasi

Dekart koordinata tekisligining tasviri. To'rt nuqta koordinatalari bilan belgilanadi va belgilanadi: (2, 3) yashil rangda, (−3, 1) qizil rangda, (−1.5, −2.5) ko'k va kelib chiqishi (0, 0) binafsha rangda.