Mavzu: Kompleks sonlar va ular ustida amallar

Yechish. z=1=1+0i ni trigonometrik shaklda yozamiz. а=1, b=0 bo‟lgani

uchun

z  r 
 1,   arctg ⁰  0 va z  cos 0  i sin 0 ga ega bo‟lamiz.
1

U holda (8) formula 
 cos ^2k  i sin ^2k


ko‟rinishga ega

3 3
bo‟ladi, bunda k=0,1,2. k=0 da w₁=cos0+isin0=1,

k=1 da
w  cos ^2  i sin ^2
 cos^{ }  ^{ }  i sin^{ }  ^{ }  sin ^  i cos ^
  ¹  i ³ ,

² 3 3
   

2

6

2

6
   
6 6 2 2

k=2 da
w  cos ^4  i sin ^4
 cos^  ^{ }  i sin^  ^{ }  cos ^  i sin ^
  ¹  i ³ .

³ 3 3
   

3

3
   
3 3 2 2

w₁, w₂ va w₃ kompleks sonlarning barchasini moduli 1 ga teng ekanligini

hisobga olib markazi koordinatalar boshida bo‟lib radiusi 1 ga teng aylana yasaymiz. Boshi koordinatalar boshida bo‟lib uchi shu aylanada yotgan, hamda 0х o‟qning musbat yo‟nalishi bilan 0^0,120^0 va 240^0 ^0, ^2^vа ^4^^burchak tashkil  3 3    etuvchi ОА, ОВ va ОС vektorlar

6-chizma.

mos ravishda w₁, w₂ va w₃ kompleks sonlarining geometrik tasviri bo‟ladi. (6-chizma).

Shunday qilib,
ning uchta qiymati


=1+io;
=- ^{ 1 } + i ³ ;

 
2 ²
= - ^{ 1 } - i ³ .

 
2 ²

   
2.7. Ikki hadli tenglamalarni yechish. zⁿ=А ko‟rinishdagi tenglama ikki hadli tenglama deyiladi, bunda А aniq kompleks son. Shu tenglamaning ildizlarini topamiz.
а) А kompleks son bo‟lsin. Bu holda (8) formulaga binoan tenglamaning ildizlari

z   ⁿ

 ^{  2k} _{ i sin} ^{  2k} 

(9)

_k ^{| A |}^cos 
_ n n _
formula yordamida topiladi, bunda  =argA, k=0,1,2,…n-1.

2. 
   А musbat haqiqiy son bo‟lsin. U holda  =argA=0 bo‟lib (9) formula
   

z   ^cos ^2k  i sin ^{2k }

(10)




_k  _{n n} 

ko‟rinishini oladi (k=0,1,2,,...,n-1)

d) А manfiy haqiqiy son bo‟lsin. U holda  =argA=р bo‟lganligi sababli (9)

formuladan

z  ⁿ
 ^{  2k} _{ i sin} ^{  2k} 

(11)

_k ^{| A |}^cos 
_ n n _
hosil bo‟ladi. Xususiy holda zⁿ=1 tenglamaning barcha ildizlari

z   cos ^2k  i sin ^2k

(12)

^k n n

formula yordamida, zⁿ=-1 tenglamaning barcha ildizlari

z   cos ^{  2k}  i sin ^{  2k}

(13)

^k n n
formula yordamida topiladi (k=0,1,2, n-1).
9-misol. z⁴=1 tenglama yechilsin.

Yechish. (12) formulaga binoan z
 cos ^2k  i sin ^2k   cos ^k  i sin ^k

^k 4 4 2 2
bo‟ladi. k o‟rniga 0,1,2,3 qiymatlarni qo‟yib ushbularni topamiz: z₀=cos0+isin0=1,
z₁= cos ^  i sin ^ =0+i=i,
2 2
z₂=cos р+isin р=-1,
z₃= cos ^3  i sin ^3 =-i. Javob: z0=1, z1=i, z2=-1, z3=-1.
2 2

1. (3+2i)+(2-i) topilsin.	Javob:	5+i.
2. (4+3i)-(6-4i) topilsin.	Javob:	-2+7i.
3. (3+2i)(2-3i) topilsin.	Javob:	12-5i.
4. (3+5i)(4-i) topilsin.	Javob:	17+17i.

Mustaqil yechish uchun mashqlar.

_5. 3  i
topilsin. Javob:
7 _ 19 _{i .}

4  5i
_6. 1  i
 2  2i

topilsin. Javob:

41 41
¹ i .
2

7. 
   (4-7i)³ topilsin. Javob: -524+7i.
   
8. 
   (2(cos18^o+isin18^o))⁵ topilsin. Javob: 32i.
   
9. 
   Quyidagi algebraik shakldagi kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltirib, so‟ngra Muavr formulasini qo‟llang.
   

а) (1+i)¹⁰; b) (1-i)¹⁶; d) (
 i)²⁰ ; e) (

• 
  i)³⁰ ; f) (1+cosб+isinб)^п.
  

7. 
   z₁=3(cos20^o-isin20^o) son z₂=2(cos10^o-isin10^o) songa bo‟linsin. Javob: ³ 
   

4
 i.

7. 
   11.
   

topilsin. Javob:
1 i 3;
2;
1 i .

7. 
   z  topilsin. Javob: z  ^{3 }
   

^  i sin ^{ }

k
z  <sup>3 

11</sup> _{ i sin} ^11 


_{ 3} 

₁ ²^cos ^,

4

4
 
^19 _{ i sin} ^19  _.




₂ ²^cos _12
12 ^{, z3
2}^cos
_ 12

12 _

7. 
   13.
   

z³  i
tenglama yechilsin. Javob:
z   ¹  i ³ ;
¹ 2 2
z   ¹  i ³ ;
² 2 2
z₃  1.

Adabiyotlar

1. 
   Б.А.Абдалимов. Олий математика. Тошкент, “Ўқитувчи”, 1994
   
2. 
   Г.Н.Берман. Сборник задач по математическому анализу. Москва, “Наука”, 1985.
   
3. 
   Ё.У.Соатов. Олий математика, 3-жилд. Тошкент, “Ўқитувчи” 1996.