Mavzu: Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni yechishning o’zgarmasni variasiyalash usuli. Ostrogradskiy-Liuvill formulasi. Reja: I kirish II asosiy qism

bundagi lar o’rniga (1) sistemadan



qiymatlarni keltirib qo’ysak,



bu oxirgi determinant bo’lmaganda u nolga teng bo’lib, i=j bo’lganda ga teng bo’ladi.

Bundan

buni har ikkala tomonini [x₀,x] oraliqda integrallasak

yoki

(5)

Bundan ko’rinadikim, agar bo’lmasa, u holda bo’lmaydi.

(5) ga sistema uchun Ostrogradskiy-Liuvill formulasi deyiladi.

Teorema 5. Agar (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasi bo’lsa, u holda (1) sistemaning umumiy yechimi

dan iborat.

Isbot. 1 va 2 teoremalarga asosan (6), (1) sistemaning yechimi bo’ladi. Uning umumiy yechim ekanligini ko’rsatish uchun undagi o’zgarmaslarni -c_k shundayaniqlab olish mumkin bo’lsakim x=x₀ bo’lganda (7) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi tenglamaning hamma xususiy yechimlarini aniqlash mumkin bo’lsin ixtiyoriy son.