Mavzu: Ikkinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni yechishning o’zgarmasni variasiyalash usuli. Ostrogradskiy-Liuvill formulasi. Reja: I kirish II asosiy qism

(7) ni (6) ga olib borib qo’ysak c_k ga nisbatan n-ta birjinsli bo’lmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.

(8)

Bu sistemaning asos determinanti Vronskiy determinantidan iborat bo’lib, u nolga teng bo’lmaydi. Chunki shartga asosan lar (1) sistemaning fundamental yechimlar sistemasidan iborat.

Shuning uchun (8) sistemadan lar bir qiymatli aniqlanadi larning bu qiymatlarini (6) ga olib borib qo’ysak boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi (1) sistemaning hamma xususiy yechimlarini aniqlash mumkin.

Misol-1. Agar fundamental yechimlar sistemasi berilgan bo’lsa, unga mos bo’lgan bir jinsli chiziqli differensial tenglamalar sistemasini toping.

Faraz etaylik izlanayotgan tenglama

(9)

bo’lsin.

Bunda lar aniqlanishi kerak bo’lgan noma’lum funksiyalar.

Fundamental yechimlar sistemasidan chisini (9) tenglamaga qo’ysak

(10)

ayniyatiga ega bo’lamiz. Bu esa larga nisbatan _{ } noma’lumli _{ } ta tenglamalar sistemasidan iboratdir. Bu sistemaninig asos determinanti Vronskiy determinantidan iborat bo’lgani uchun; undan lar bir qiymatli aniqlanadi. Bu topilgan -larni (9) tenglama qo’ysak izlangan tenglamaga ega bo’lamiz.

Buni determinant shaklida ham yozish mumkin



Misol-2y₁₁=x+1 z₁₂=x

y₂₁=2 z₂₂=x