Мавзу: Халка ва майдонлар

Мисол 3. ва группаларни кўриб чиқамиз. комплекс сонга комплекс сонни мос қўювчи акслантириш гомоморфизм бўлади. Унинг ядроси ва образи қуйидаги тўпламлардан иборат:
, .
бўлсин. У ҳолда бўлади. Бу тўплам маркази нол нуқтада бўлган квадратнинг учларидан тузилган. Демак, фактор-группа - маркази нол нуқтада бўлган «квадрат»ларнинг кўпайтиришга нисбатан группаси бўлади. Гомоморфизм ҳақидаги теоремага кўра бу фактор-группа группага изоморф бўлади.
Мисол 4. ва группаларни кўриб чиқамиз. сонга сонни мос қўювчи акслантириш гомоморфизм бўлади. Унинг ядроси ва образи қуйидаги тўпламлардан иборат:
, .
бўлсин. У ҳолда ушбу

тўплам каср қисми бир хил бўлган ҳақиқий сонлардан тузилган тўплам бўлади. Демак, фактор-группа элементи - каср қисми бир хил бўлган ҳақиқий сонлар тўплами экан. Гомоморфизм ҳақидаги теоремага кўра . Бу ерда орқали комплекс текисликда жойлашган маркази нол нуқтада бўлган бирлик айланада ётувчи нуқталарнинг кўпайтиришга нисбатан группаси белгиланган.
Мисол 5. ва группаларни кўриб чиқамиз. сонга сонни мос қўювчи акслантириш гомоморфизм бўлади. Унинг ядроси ва образи қуйидаги тўпламлардан иборат:
, .
бўлсин. У ҳолда ушбу

тўплам – 5 сонига бўлганда қолдиқ берадиган бутун сонлар тўплами бўлади.
Демак, гомоморфизм ҳақидаги теоремага кўра

фактор-группа 1 сонидан чиқарилган 5-даражали илдизларнинг кўпайтиришга нисбатан группасига изоморф бўлади.
Мисол 6. - элементлари ҳақиқий сонлардан иборат детерминанти нолдан фарқли бўлган тартибли квадрат матрицаларнинг кўпайтиришга нисбатан группаси ва группани кўриб чиқамиз. матрицага сонни мос қўювчи акслантириш гомоморфизм бўлади. Унинг ядроси ва образи қуйидаги тўпламлардан иборат:
, .
бўлиб, бўлсин. У ҳолда ушбу

тўплам – детерминанти бўлган барча тартибли квадрат матрицалар тўплами бўлади. Гомоморфизм ҳақидаги теоремага кўра
.