Mavzu: Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarni Riman usuli bilan yechish

Umumiy qo’yilgan Koshi masalasi

Ikkinchi tartibli xususiy hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lgan ushbu
(1)
tenglamani biror D sohada qaraylik.
Faraz qilaylik, D sohada silliqlanuvchi, chekli uzunlikdagi va parametrik tenglamalari , , bo’lgan L egri chiziq berilgan va bu egri chiziq ( 1) tenglamaning xarakteristikasi bo’lmasin.

Bu yerda s orqali L egri chiziq yoyhiing, l orqali esa L egri chiziqning uzunligi belgilangan.

KOSHI MASALASI.

Xususiy hosilali (1) differensial tenglamaning L egri chiziq atrofida aniqlangan, uzluksiz va quyidagi

(2)
boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi u(x, y) yechimini toping. Bu yerda va berilgan yetarlicha silliq funksiyalar, N esa L egri chiziqqa o‘tkazilgan normal.
Xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun qo‘yilgan Koshi masalasi matematik fizikaning muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Uni tadqiq etish ilmiy va amaliy ahamiyatga ega.

KOSHI- KOVALEVSKAYA TEOREMASI.

Agar xususiy hosilali (1) differensial tenglamaning koeffftsiyentlari va funksiyalar analitik bo‘lsa, u holda (l)-(2 ) Koshi masalasi L egri chiziqning yetarlicha kichik atrofida yagona analitik yechimga ega bo'ladi.
G u r s a m a s a l a s i. G to’rtburchakda regulyar, G da uzluksiz va

Shartlarni qanoatlantiruvchi (84) tenglamaning yechimi topilsin. Masalaning qo’yilishiga asosan, va funksiyalar berilgan soxasida uzluksiz va shart bajarilishi zarur. Demak, gursa masalasida (84) tenglamaning ikkita kesishadigan xarakteristikalarida bitta chegaraviy shart beriladi. Gursa masalasida shartlar xarakteristikalarda berilgani uchun bu masala xarakteristik masala deb xam yuritiladi. Endi orqali y=0 o’qning ixtiyoriy kesmasi va (84) tenglamaning xarakteristikalari bilan chegaralangan uchburchakni belgilaymiz. Bu uchburchak xarakteristik uchburchak deyiladi (5-chizma).

D a r b u (K o sh i – G u r s a) ning birinchi masalasi. G da regulyar, G da uzluksiz va


Shartlarni qanoatlantiruvchi (84) tenglamaning yechimi topilsin, bunda
va berilgan funksiyalar, shu bilan birga
D a r b u (K o sh i – G u r s a) ning ikkinchi masalasi.
G da regulyar, G’ da uzluksiz, AB kesmagacha birinchi tartibli xosilalarga ega bo’lgan va


Shartlarni qanoatlantiruvchi (84) tenglamaning yechimi topilsin, bunda
Yuqorida keltirilgan aralash tipga tegishli

Tenglamani tekshiramiz. m=1 bo’lganda bu tenglama Trikomi tenglamasi bilan ustma ust tushadi, m=0 bo’lganda esa (85) tenglama Lavrentev – Bisadze tenglamasi deyiladi. Aralash tipdagi berilgan soxa aralash soxa deb yuritiladi.
G – x, y o’zgaruvchilar tekisligida y>0 bo’lganda uchlari A( 0) va B( 0) nuqtalarda bo’lgan Jordan egri chizig’i bilan y<0 da esa, (85) tenglamaning

Xarakteristikalari bilan chegaralangan bir bog’lamli aralash soxa bo’lsin (6-chizma)
T r i k o m i m a s a l a s i. G soxada regulyar, sinfga tegishli, egri chiziqda va AC yoki BC xarakteristikalardan bittasida, masalan AC da berilgan qiymatlarni qa’bul qilluvchi, ya’ni


(85) tenglamaning yechimi topilsin.
Shu bilan birga bo’lishi zarur. Trikomi masalasi T masala deb yuritiladi.