Mavzu: Gamilton tenglamasi. Kanonik tenglamalar. Gamilton funksiyasi. Gamilton shakli Reja

Puasson qavslari
Bizga qandaydir f funksiya berilgan bo’lsin,agar bu funksiyaning ko’rinishi umumlashgan koordinata,umulashgan impuls va vaqtga bog’liq holda bo’lsa,bu funksiyaning ko’rinishini quyidagicha yozamiz.

U holda bu funksiyadan vaqt bo’yicha hosila quyidagicha olinadi.
(1)
Bu (1) ifodaga quyidagi Gamilton tenglamalarini qo’yib
(2)
ifodani quyidagicha yozamiz.
(3)
Bu (3) ifodaga quyidagicha belgilash kiritamiz.
(4)
Bu kiritilgan (4) ifoda Puasson qavslari deyildi.
Puasson qavslari funksiyalarning harakat integrali yoki harakat integrali emasligini bildiradi. Yuqoridagi belgilash orqali (3) ifodani quyidagicha yozamiz.
(5)
Agar biz qarayotgan f funksiya vaqtga oshkora bog’liq bo’lmagan funksiya bo’lsa,u holda bu funksiyaning vaqt bo’yicha hosilasi nolga teng bo’lishi kerak.Bundan esa quyidagi kelib chiqadi.
(6)
Demak, (6) ifodadan ko’rinib turibdiki f funksiya harakat integrali ekan.
Endi Puasson qavslarining xossalari bilan tanishaylik.
1⁰
2⁰ c=const
3⁰
4⁰
5⁰
Puasson qavslari quyidagi ayniyatni ham bilishi kerak.
6⁰
Bu ayniyat Yaqubiy ayniyati deyiladi.
Bularga qo’shimcha qilib Puasson qavslarini boshqacha ko’rinishda yozishni ham bilish kerak.Bu quyidagicha ko’rinishda ham bo’lishi mumkin.

(7)
Bulardan tashqari Puasson qavslari uchun quyidagilarni bilish kerak bo’ladi.
(8)
ifodadagi Puasson qavslari Fundamental Puasson qavslari deyiladi.
Agar Puasson qavsidagi f va g funksiyalar harakat integrallari bo’lsa,Puasson qavsi ham harakat integrali bo’ladi.
Ya’ni Puasson qavsidan vaqt bo’yicha olingan hosila nolga teng bo’ladi.
(9)
Agar Puasson qavsidagi bitta funksiya umumlashgan koordinata yoki umumlashgan impuls bo’lsa,bunday Puasson qavslari uchun quyidagi ifodalar o’rinli bo’ladi.
(10)
Bu Puasson qavslariga tushunish uchun bitta masala ko’rib chiqamiz.
Masala: bizga impuls va impuls momentlari orasidagi Puasson qavslari berilgan bo’lsin,bu Puasson qavslari quyidagicha hisoblanadi.
1)
2)





Xulosa
Lagranj funksiyasi koordinatalar va tezliklar orqali ifodalanadi. Shunday sistemalar mavjudki ularda umumlashgan koordinatalar va impulslar orqali ifodalanishi qulay bo‘ladi. Shuning uchun harakat qonunlarini bu koordinatalardagi ifodalarini topish talab etiladi. Shu sababdan ham harakat qonunlarini aniqlashni boshqa usullarini ko’rib chiqdik. Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham bu almashtirishlarga nisbatan o’z ko’rinishlarini o’zgartirmaydi. endi bu yerda almashtirishlarga o’zaro bog’liq bo’lmagan o’zgaruvchilarni ham kiritish lozim bo’ladi: Shuni aytish kerakki, almashtirishi ixtiyoriy ko’rinishida harakat teglamalarining o’z ko’rinishini o’zgartirmay qolaveradi. Bu prinsipga ko’ra Lagranj tenglamalari kabi Gamilton tenglamalari ham kelib chiqadi. Gamilton funksiyasi vaqtga ochiqdan-ochiq bog’liq bo’lmaganligi uchun uning vaqt bo’yicha xosilasi nolga teng bo’ladi.
Demak,Gamilton funksiyasi harakat integrali ekan,ya’ni Gamilton funksiyasi to’liq energiya funksiyasi ekan. Bu degani energiyani saqlanish qonunini bildiradi. Biz har qanday mexanik sistemani harakat qonunlarini aniqlashda Logranch funksiyasidan foydalangan holda Logranch tenglamasidan yechar edik. Bu tenglama esa eng kichik ta’sir prinsipi asosida kelib chiqqan umumlashgan koordinataga bog’liq bo’lgan ikkinchi tartibli differensial tenglama deyiladi.