Mavzu: Funksiyalarni Teylor va Makloren qatorlariga yoyishga misollar. Lopital qoidasi Bajardi: Tekshirdi

Binomial qatorlar
m=1/2 bo’lganda

m=-1/2 bo’lganda:
(6)
Binom yoyilmasini boshqa funktsiyalarning yoyilmasiga tadbiq etamiz:
(x)=arcsinx funktsiyani Маkloren qatoriga yoyamiz. (6) tenglikdagi х o’rniga -х² ifodani qo’ysak:

|x|<1 bo’lganda, darajali qatorlarni integrallash haqidagi teoremaga asosan quyidagini hosil qilamiz:

Bu qator (‑1; 1) оraliqda yaqinlashadi. Qator х=1 bo’lganda ham yaqinlashishini vа bu qiymatlar uchun qatorning yig’indisi arcsinx gа tengligini isbot qilish mumkin. U vaqtda х=1 deb olib, ? ni hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
arcsin1=
Roll teoremasi: funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, f(a)=f(b) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (a;b) intervalga tegishli hech bo`lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, bo‘ladi.
Lagranj teoremasi: funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda (a;b) intervalga tegishli hech bo‘lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Koshi teoremasi: Agar ikkita f(x) va _{ } funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz va uning ichida differensiallanuvchu bo`lsa, shu bilan birga _{ } shu kesma ichining hech qayerida nolga aylanmasa, u holda [a, b] kesma ichida shunday x=c, a nuqta topiladiki, unda

Teylor-Makloren formulasi
ifoda
Teylor formulasi, R_n(x) Teylor formulasining qoldiq hadi.
Teylor formulasining a=0 dagi hususiy ko’rinishi

Makloren formulasi deyiladi.
Bu formula funksiyaning erkli o‘zgaruvchi x ning darajalari bo‘yicha yoyilmasini beradi.