Mavzu: Funksiya limiti va uzluksizligi Reja

Tа’rif. y=f(x) funksiyasining аrgumеnt оrttirmаsi x0 dа ungа mоs kеluvchi funksiya оrttirmаsi y0 bo`lsa, u hоldа y=f(x) funksiya x=x₀ da uzluksiz dеyilаdi vа y=0 kabi yozilаdi.      x=x₀+x,   x=x-x₀,    y=f(x₀+x)-f(x₀),    y=f(x)-f(x₀)

y= (f(x₀+x)-f(x₀))= (f(x₀+x-х₀)-f(x₀))= (f(x)-f(x₀))=0 Misоllar

1) y=2x+1 funksiyaning uzluksizligi ko`rsаtilsin.

y+y=2(x+x)+1,  ayirmani topamiz y=2x+2x+1-2x-1, y=2x

y= 2x =0

2) y=x³

y+y=(x+x)³      

y=x³+3x²x+3x(x)²+x³                y=x³+3x²x+3xx²+x³-x³

y=x(3x²+3xx+x²)        

y=  (3x²+3xx+x²)x=0.

3) f(x)=cosx funksiyaning x₀R nuqtada uzluksiz bo`lishini ko`rsating.

Yechish. x₀R nuqtani olib unga x orttirma beraylik. Natijada f(x)=cosx ham ushbu y=cos(x₀+x)-cosx₀ orttirmaga ega bo`lib,va -<x<  bo`lganda

|y| = |cos(x₀+x) - cosx₀|=

munosabatga ega bo`lamiz. Bundan esa x0 da y0 bo`lishi kelib chiqadi.

Aytaylik, y=f(x) funksiya xR to`plamda aniqlangan bo`lib, x₀(x₀X) to`plamning (o’ng va chap) limit nuqtasi bo`lsin. Bunda xx₀ da f(x) funksiya uchun quyidagi uch holdan bittasigina bajariladi:

1)               chekli f(x₀-0), f(x₀+0) chap va o`ng limitlar mavjud va

f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tenglik o`rinli. Bu holda f(x) funksiya x=x<sub>0</sub> da uzluksiz bo`ladi;

2) f(x₀-0), f(x₀+0) lar mavjud, lekin f(x₀-0)=f(x₀+0)=f(x₀) tengliklar bajarilmaydi, u holda f(x)x=x₀ nuqtada bir tur uzilishga ega deyiladi;

3) f(x₀-0), f(x₀+0) larning birortasi cheksiz yoki mavjud emas. Bu holda x₀ nuqtada 2 tur uzilishga ega deyiladi;

4) f(x₀-0)=f(x₀+0)f(x₀) bo`lsa bunday uzilish, bartaraf qilish mumkin bo`lgan uzilish deyiladi.

Misol. Ushbu f(x)=[x] funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligini ko`rsating.

Yechish. Demak,  [x]=1,   =2

Bundan esa berilgan funksiyaning x₀=2 nuqtada birinchi tur uzulishga ega ekanligi kelib chiqadi.