Mavzu: Fazoda tekislik tenglamalari

1.2. Tekislik va uning umumiy tenglamasi. Tekislik geometriyaning boshlang‘ich tushunchalariga kiradi va shu sababli ta’rifsiz qabul etiladi.
TЕORЕMA: 1) Fazodagi har qanday tekislikning tenglamasi uch o‘zgaruvchili chiziqli tenglamadan iborat, ya’ni
Ax+By+Cz+D=0 (1)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda A²+ B² +C²≠0 shart bajarilishi kerak.
2) Har qanday (1) chiziqli tenglama fazoda biror tekislikni aniqlaydi.
Isbot: 1) Faraz qilaylik fazoda qandaydir P tekislik berilgan bo‘lsin. Bu tekislikka tegishli biror M₀(x₀,y₀,z₀) nuqta va P tekislikka perpendikular joylashgan biror n=(A,B,C) vektor ma’lum bo‘lsin. Bеrilgan P tеkislikda yotuvchi ixtiyoriy М(x,y,z) nuqtani olib, boshi va uchi M₀ va M nuqtalarda joylashgan a=(x−x₀, y−y₀, z−z₀) vektorni qaraymiz. Bu vektor bilan n vеktor o‘zaro ortogonal bo‘ladi va shu sababli ularning skalyar ko‘paytmasi nolga tengdir. Bu skalyar ko‘paytmani qaralayotgan vektorlarning koordinatalari orqali ifodalaymiz:
A(x–x₀)+B(y–y₀)+C(z–z₀)=0 => Ax+By+Cz+(–Ax₀ –By₀–Cz₀)=0 => Ax+By+Cz+D=0, D= –(Ax₀ +By₀+Cz₀).
Demak, haqiqatan ham tekislik tenglamasi (1) ko‘rinishdagi chiziqli tenglamadan iborat ekan.
2) Berilgan (1) tenglamani qanoatlantiruvchi birorta M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtani olamiz. Masalan, agar A≠0 bo‘lsa, M₀(–D/A,0,0) yoki, agar B≠0 bo‘lsa, M₀(0, –D/B,0) yoki, agar C≠0 bo‘lsa, M₀(0,0, –D/C) deb olish mumkin.
Bu holda Ax₀ +By₀+Cz₀+D=0 tenglik o‘rinli bo‘ladi va uni (1) tenglamadan hadma-had ayirib A(x–x₀)+B(y–y₀)+C(z–z₀)=0 tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglik n=(A,B,C) va a=(x−x₀, y−y₀, z−z₀) vektorlarning ortogonalligini ifodalaydi. Bu shartni qanoatlantiruvchi a vektorlarning uchlarini ifodalovchi M(x,y,z) nuqtalar to‘plami M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtadan o‘tuvchi va n=(A,B,C) vektorga nisbatan perpendikulyar joylashgan tekislikdan iborat bo‘ladi. Demak, (1) tenglama haqiqatan ham tekislikni ifodalar ekan. Teorema to‘liq isbot bo‘ldi.
3-TA‘RIF: (1) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deb ataladi. Berilgan P tekislikka perpendikulyar bo‘lgan har qanday vektor bu tekislikning normal vektori yoki qisqacha normali deb ataladi.
Oldingi teoremani isbotlash jarayonidan (1) umumiy tenglamasi bilan berilgan tekislik uchun n=(A,B,C) normal vektor bo‘lishi kelib chiqadi. Bu natija kelgusida juda ko‘p qo‘llaniladi.
Endi P tekislikning (1) umumiy tenglamasini ayrim xususiy hollarda tahlil etamiz.

1. 
   D=0 Ах+Ву+Сz=0  0(0,0,0) P, ya’ni P tеkislik koordinatalar boshidan o‘tadi.
   
2. 
   А=0Ву+Сz+D=0 n=(0,B,C) OX P ||OX, ya’ni P tеkislik OX o‘qiga parallеl bo‘ladi.
   
3. 
   В=0Ах+Сz+D=0 n=(A,0,C) OY P ||OY.
   
4. 
   С=0Ах+Ву+D=0 n=(A,B,0) OZP ||OZ .
   
5. 
   А=0 , D=0Ву+Сz=0  0(0,0,0) P, P ||OX  OXP, ya’ni P tеkislik OX o‘qidan o‘tadi.
   
6. 
   В=0 , D=0Ах+Сz=0  0(0,0,0) P, P ||OY  OYP.
   
7. 
   С=0, D=0Ах+Ву=0  0(0,0,0) P, P ||OZ  OZP .
   
8. 
   А=0, В=0Сz+D=0z=–D/СP ||OX , P ||OY P||XOY,
   

ya’ni P tеkislik XOY tеkisligiga parallеl bo‘ladi.

9. 
   А=0, С=0 Ву+D=0у=–D/В P ||OX , P ||OZ P||XOZ.
   
10. 
    В=0, С=0Ах+D=0x=–D/А P ||OY , P ||OZ P||YOZ.
    
11. 
    А=0, В=0, D=0  Сz=0 z=0 P=XOY .
    
12. 
    А=0, С=0, D=0Ву=0 y=0 P=XOZ .
    
13. 
    В=0, С=0, D=0 Ах=0 x=0 P=YOZ .