Mavzu: elementar matematika faning predmeti va vazifalari

1-teorema (arifmetikaning asosiy teoremasi). Har qanday murakkab son tub sonlar ko'paytmasiga yoyiladi va agar ko'paytuvchilarning yozilish tartibi nazarga olinmasa, bu yoyilma yagonadir.

I s b o t. a₁ — murakkab son, q₁, esa uning eng kichik tub bo'luvchisi bo'lsin. a₁ ni q₁ ga bo'lamiz: a₁₌q_1· a₂ (a₂₁)

Agar a₂ tub son bo'lsa, a₁ son tub ko'paytuvchilarga yoyilgan bo'ladi. Aks holda, a₂ ni o'zining eng kichik tub bo'luvchisi q₂ ga bo'lamiz: a₂₌q_2· a₃ (a₃₃).

Agar a₃ tub son bo'lsa, a₁₌q₁·q₂· a₃ bo'ladi. q₁ ,q₂,a₃ sonlari tub sonlar bo'lgani uchun, a₁ soni tub ko'paytuv­chilarga yoyilgan bo'ladi. Agar a₃ murakkab son bo'lsa, yuqoridagi jarayon davom ettiriladi.

a₁> a₂> a₃ > .. . ekanligidan ko'rinadiki, bir necha qadamdan so'ng albatta a_ntub soni hosil bo'ladi va a₁ soni a₁₌q₁·q₂·…· a_n shaklni oladi. Demak, har qanday na­tural son tub ko'paytuvchilarga yoyiladi.

a soni ikki xil ko'rinishdagi tub ko'paytuvchilar yoyilmasiga ega bo'ladi, deb faraz qilaylik:

a = p₁  p_2… p_k , (1)

a₌q₁·q₂·…· q_n , (2)
U holda

q₁·q₂·…· q_{n ·} p₁  p_2… p_k (3)

(3) tenglikning ikki tomonida hech bo'lmaganda bittadan tub son topiladiki, u sonlar bir-biriga teng bo'ladi. p₁=q₁ deb faraz qilaylik. Tenglikning ikkala tomonini p₁=q₁ ga qisqartirsak q₂·…·q_n=p₂·…·p_k bo'ladi. Bu tenglik ustida ham yuqoridagidak mulohaza yuritsak, q₃·…·q_n=p₃·…·p_k bo'ladi va hokazo. Bu jarayonni davom ettirsak, n-1 qadamdan so'ng 1= p_n+1 •... • p_k tenglikni olamiz. Bundan p_n+l = 1, ..,, p=1 ekanligi kelib chiqadi. Demak, yoyilma yagona ekan.

a sonini tub ko'paytuvchilarga yoyishda ba'zi ko'pay­tuvchilar takrorlanishi mumkin. q₁ q₂ ..., q_n ko'paytuvchilarning takrorlanishlarini mos ravishda , orqali belgilasak, hosil bo'ladi. Bu a sonining kanonik yoyilmasidir.

Masalan, 105840 = 2⁴·3³ ·5 · 7².

Natural sonlarning kanonik yoyilmasidan foydalanib, uning bo'luvchilarini va bo'luvchilar sonini topish mumkin.