Mavzu: Differensial tenglamalarning amaliy masalalar yechish

Ta’rif.
F(x,y,y’,....,y
(n)
)=0 ko’rinishdagi tenglamaga n - tartibli differensial tenglama deyiladi. 
Ta’rif. 
n - tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi deb n ta с
1
, с
2
, .... с
n
- ixtiyoriy 
o’zgarmas miqdorlarga bog’liq bo’lgan 
y=

(x, с
1
, с
2
, .... с
n
) 
funksiyaga aytiladi. Bu funksiya: 
Erkin mexanik tebranishlar. 
so’nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasini 
keltirib chiqarishga harakat qilamiz. Tebranuvchi jismga qaytaruvchi kuch va jismning harakat 
tezligiga proportsional bo’lgan qarshilik kuchlarning yig’indisi ta’sir etadi, deb hisoblaylik.
Bu yerda 
qarshilik kuchi,
qarshilik koeffitsienti,
harakat tezligi, “–“ ishora ishqalanish kuchi doimo harakat tezligi
yo’nalishiga teskari ekanligini bildiradi.
o’q bo’ylab to’g’ri chiziqli so’nuvchi tebranish uchun Nyutonning II qonuni quyidagi 
ko’rinishga ega bo’ladi:
Bu yerda tebranuvchi kattalik, qarshilik kuchi yo’qligidagi tebranishlar chastotasi yoki 
tebranuvchi tizimning xususiy chatotasidir.
Bu ifoda erkin so’nuvchi tebranishlarning differentsial tenglamasi deb ataladi. Bu yerda 
so’nish koeffitsienti deb ataladi. (9.38) tenglamani quyidagi ko’rinishda ham 
yozish mumkin:
Bu tenglamaning yechimi
Tenglikning hadlarini
ga bo‟lsak, quyidagi ifodaga ega bo‟lamiz:
,

---

Muhitning qarshiligi bo’lmagan holatda (
) (9.41) – ifoda tizimning xususiy chastotasiga 
tenglashadi: 
. (9.40) - funktsiya ko’rinishiga qarab, tizimning harakatini chastotali, 
amplitudasi vaqt bo’yicha o’zgaradigan quyidagi so’nuvchi tebranish deb qarash mumkin. Bu 
yerda 
- vaqtning boshlang’ich holatidagi tebranish amplitudasidir.
9 - rasmda amplituda va siljishning vaqtga bog’liq egri chiziqlari keltirilgan. Egri chiziqlarning 
yuqorigisi 
funktsiya grafigini belgilaydi. Bu yerda
va 
boshlang’ich momentdagi amplituda va siljishning qiymatlaridir.
Boshlang’ich siljish 
o’z vaqtida, 
dan tashqari, boshlang’ich fazaga ham bog’liqdir:
Tebranishning so’nish tezligi 
bilan aniqlanadi va u so’nish koeffitsienti deb 
ataladi.
dan iboratdir. Bu yerda,
so‟nuvchi tebranishning chastotasidir

---

 marta kamayishga ketgan vaqt
ga tengdir. so’nuvchi tebranishlar davri
ifoda bilan aniqlanadi. Muhitning qarshiligi 
sezilarli ravishda kichik bo’lganda 
, 
tebranish davri xususiy davrga teng 
bo’ladi:
so’nish koeffits ienti ortishi bilan tebranish davri orta
boradi.
Bitta to’la davrning boshlang’ich va oxirgi holatlariga mos keluvchi amplitudalar nisbati 
quyidagiga tengdir:
va u so’nish dekrementi deb ataladi. Bu ifodaning logarifmi so’nishning logarifmik 
dekrementi deb ataladi:
So’nishning logarifmik dekrementi bir davr ichida amplitudaning nisbiy kamayishini 
xarakterlaydi, so’nish koeffitsienti esa apmlitudaning birlik vaqt ichidagi nisbiy kamayishini ko’rsatadi.
Yuqorida ta’kidlangandek, so’nish koeffitsienti r qarshilik koeffitsientiga to’g’ri va 
tebranuvchi jismning massasiga teskari proportsionaldir.
(9.41) - ifodadan tsiklik chastota 
xususiy chastota dan kichikligi ko’rinib turibdi. 
Agarda muhitning qarshiligi juda katta bo’lsa dir, ildiz ostidagi
ifoda manfiy, tsiklik chastota esa mavhum bo’ladi. Bu holatda jism davriy
bo’lmagan - aperiodik harakat qilaboshlaydi (10 - rasm).