Mavzu: differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar

Masalaning qo’yilishi. Ta’riflar. Birinchi tartibli differensial tenglamalar.

Birinchi tartibli eng oddiy differensial tenglama analizda uchraydi: berilgan uzluksiz funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini topish masalasi

(5)
tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyani topish masalasiga teng kuchlidir.(5) tenglamaning a, sohada aniqlangan umumiy yechimi (Koshi shaklidagi umumiy yechimi) quyidagi formulalar yordamida topiladi:
(6)
Bu yerda c - ixtiyoriy o‘zgarmas, .
Agar f funksiya nuqtada uzilishga ega bo‘lib, oraliqning qolgan hamma nuqtalarida uzluksiz funksiya bo‘lsa, u holda (6) formula yordamida (5) tenglamaning umumiy yechimini va sohalarda aniqlash mumkin. esa «to‘ntarilgan» tenglamaning yechimi bo‘ladi.
Bu chiziq (6) integral chiziqlar oilasining integralning xususiyatiga qarab, asimptotikasi yoki o‘ramasi bo‘ladi.
Tenglamalarni integrallang va integral chiziqni yasang.
1-misol.
f(x) funksiya oraliqlarda aniqlangan va uzluksiz. funksiyaning cheksiz uzilish nuqtalari. Bu tenglamaning aniqlanish sohasidagi umumiy yechimi

«to‘ntarilgan» tenglamaning integral chizig‘i bo‘ladi va chiziqlar umumiy yechimga kiruvchi integral chiziqlar oilasining asimptotasi bo‘ladi.

2-misol. tenglamaning umumiy yechimi

«to‘ntarilgan» tenglamaning maxsus yechimi va bu yechimlar umumiy yechimga kiruvchi integral chiziqlar oilasining o‘ramasi bo‘ladi.

Endi, erkli o‘zgaruvchi qatnashmagan

(7)
tenglamani qaraymiz.
bo‘lganda, (7) ga teng kuchli bo‘lgan «to‘ntarilgan» tenglamani qaraymiz:
(8)
bu tenglama uchun yuqorida ko‘rib o‘tilgan usulni qo‘llaymiz.
uzluksiz va da nolga teng emas deb faraz qilamiz. U holda (8) tenglamaning sohadagi umumiy yechimi (Koshi shaklidagi umumiy yechimi) quyidagicha bo‘ladi:
_yoki
Agar nuqtalarda nolga aylansa, u holda (7) tenglamaning yechimi bo‘ladi.
3-misol.
f(y) funksiya y≥0 bo‘lganda aniqlangan va uzluksiz, hamda f(0)=0.
«T o‘ntarilgan» tenglama bo‘lib, yechimi bo‘ladi.
Differensial tenglamalarni integrallashda almashtirishlar muhim rol o‘ynaydi, masalan
(9)
Tenglama z=ax+by almashtirish yordamida (7) tenglamaga keltiriladi. Bu yerda z yangi noma’lum funksiya.
4-misol.
3 misolni yechishda qo‘llangan usuldan foydalanib: ni hosil qilamiz. Eski o‘zgaruvchilarga qaytsak, berilgan tenglamaning yechimini hosil qilamiz.
Misol. Ushbu tenglama berilgan bo’lsin:

funksiyalar,
yoki

ko’rinishdagi funksiyalar va ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarning har qanday qiymatlarida ham differensial tenglamaning yechimi bo’ladi.
Ularni isbotlash uchun bu qiymatlar berilgan tenglamaga qo’ysak

Tenglikka kelamiz.


1-misol. Birinchi tartibli

tenglama uchun funksiyalar oilasi umumiy yechim bo’ladi.
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topamiz. Bu qiymatlarni formulaga qo’yib . Demak xususiy yechim funksiya bo’ladi.
Geometrik nuqtai nazardan umumiy integral koordinatalar tekisligida bir ixtiyoriy o’zgarmas miqdorga bog’liq bo’lgan egri chiziqli oilasini ifodalaydi. Bu egri chiziqlar berilgan differensial tenglamaning integral egri chiziqlari deyiladi. Xususiy integralga b oilaning tekislikda berilgan biror nuqta orqali o’tuvchi bitta egri chizig’i mos keladi. giperbolalar oilasini tasvirlaydi. Ko’rsatilgan boshlang’ich shartlar Bilan aniqlagnan xususiy integral bu giperbolalarning nuqta orqali o’tvchi bitta giperbolani tasvirlaydi. Differensial tenglamani yechish yoki integrallash deganda:
A) uning umumiy yechimini yoki umumiy integralini (agar boshlangich shartlar berilgan bo’lmasa) topish.
B) berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimni topishni tushunish kerak.