Mavzu: Differensial hisobning asosiy teoremalari

Yechilishi.funksiyaning kesma uchlaridagi qiymatlarini va hosilasini hisoblaymiz: f(0)=-2; f(2)=12; f’(x)=12x²-10x+1. Olingan natijalarni Lagranj formulasiga qo‘yamiz, natijada
12-(-2)=( 12c²-10c+1)(2-0) yoki 6c²-5c-3=0 kvadrat tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani yechamiz: c_1,2= . Topilgan ildizlardan faqat qaralayotgan kesmaga tegishli. Demak, c= ekan.
Lagranj teoremasi o‘z navbatida quyidagi teoremaning xususiy holi bo‘ladi.

Koshiteoremasi
Teorema (Koshiteoremasi).
Agar kesmada f(x) va g(x) berilgan bo 'lib,

1. 
   da uzluksiz;
   
2. 
   intervalda va mavjud, hamda bo'Isa, u holda hech bo'Imaganda bitta shunday c ( ₎ nuqta topilib,
   

tenglik o'rinli bo'ladi.
Isbot. Ravshanki, (4) tenglik ma'noga ega bo'lishi uchun

bo'lishi kerak. Bu esa teoremadagi shartdan kelib chiqadi. Haqiqatdan ham, agar g(a)=g(b) bo’l , u holda funksiya Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirib, biror nuqtada bo'lar edi. Bu esa

da shartga ziddir. Demak, .
Endi yordamchi

Funksiyani tuzaylik.
Shartgako'ra va funksiyalar da uzluksiz va intervalda differensiyalanuvchi bo'lgani uchun F(x) birinchidan kesmada uzluksiz funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida uzluksiz, ikkinchidan intervalda

hosilaga ega.
So'ngra F(x) funksiyaning x=a va x=b nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz: demak, F(x) funksiya kesmada Roll teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun hech bo 'lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, bo'ladi.
Shunday qilib,

va bundan (4) tenglikning o'rinli ekani kelib chiqadi. Isbot tugadi.
Endi Koshi teoremasining geometric ma'nosini aniqlaymiz. Aytaylik tekislikdagi chiziqning parametrik tenglamasi bo'lsin. Shuningdek chiziqda ga mos keluvchi nuqtani

ga mos keluvchi nuqtani

kabi belgilaylik.
holda (4) formulaning chap qismi vatarning burchak koeffitsientini, o'ngtomoniesaegrichiziqqaparametrning qiymatiga mos
keladigannuqtasida o 'tkazilganurinmaningburchakkoeffitsientinianglatadi. Demak, Koshiformulasi yoyning vatarga parallel bo 'lgan urinmasiningmavjudliginita'kidlaydiurinmasiningmavjudliginita'kidlaydiekan. Misol. Ushbu va funksiyalar uchun kesmada Koshi formulasini yozing va s ni toping.

Yechish. berilganfunksiyalarningkesmauchlaridagiqiymatlarivahosilalarinitopamiz: ,
BulardanfoydalanibKoshiformulasiniyozamiz:
bundan yoki . Demak