Mavzu: Differensial hisobning asosiy teoremalari

Ferma teoremasi
Differensial hisobning nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan teoremalari bilan tanishamiz.
Teorema (Ferma teoremasi).  funksiya  intervalda aniqlangan bo‘lib, bu intervalning biror  nuqtasida o‘zining eng katta (eng kichik) qiymatiga erishsin. Agar funksiya  nuqtada chekli hosilaga ega bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.
Teylor teoremasi
Teorema (Teylorteoremasi). funksiya nuqtaning biror atrofuda aniqlangan bo'lib, bu atrofda tartibligacha hosilalarga ega va hosila nuqtada uzluksiz bo "1sin. U holda


bo'ladi, bunda .
(5.11) tenglikkaTeylorformulasideyiladi.
ga
n-tartibliTeylor
ko 'phadi,
TeylorformulasiningLagranjko 'rinishdagiqoldiqhadideyiladi[2].
da Teylor formulasidan
yoki tenglik, ya'ni Lagranj formulasi kelib chigadi.
Demak, LagraniformulasiTeylorformulasininghususiyholibo'ladi.
Misol
ko'phadni ikkihadning butun musbat darajalari bo'yicha yoyamiz. Buning uchun funksiyaning hosilalarini topamiz:


Ko'phadvauninghosilalarining dagi qiymatlarini topamiz:

U holda

da Teylor formulasining xususiy hollaridan yana biri

hosilbo'ladi. Bu formulagaMaklorenformulasideyiladi.
AyrimfunksiyalarningMaklorenformulasigayoyilmasinikeltiramiz:
2.
3. ;
4.

Xususan, da

Formulalardanayrimlariningisbotinikeltiramiz.

1. 
   bo'lsin. U holda
   

Maklorenformulasiquyidagiko'rinishgakeladi:

2. 
   
   U holda
   

Bundan

4. 
   bo' .
   Bundan
   

U holda

Teylorformulasifunksiyalargiymatlariniyalimitlarniberilgananiqlikdahisoblashda go 'llaniladi. Masalan, funksiyaning nugtadagi qiymatini xatoligi dan katta bo'/magan aniqlikda hisoblash uchun Teylor ko'phadini
shunday darajasigacha olinadiki, bunda son tengsizlikni ganoatilaniradigan larning eng kichigi gilib tanlanadi.
Misol.
sonini 0,001 aniqlikda hisoblaymiz. Shartga ko'ra

• 
  Maklorenformulasigabinoan
  shartniganoatlantiruvchiengkichik
  giymati , bunda .
  Demak,
  Misol limitni topamiz:
  limitnitopamiz: