Mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi Kramer va Gauss usullarida yechish

Mavzu. Chiziqli tenglamalar sistemasi Kramer va Gauss usullarida yechish.

Soddalik uchun uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamadan iborat ushbu

(1 )

sistemani qaraymiz. Sistema uchta va noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi, bunda sonlar tenglamalar sistemasining koeffitsientlari, sonlar ozod hadlar deyiladi. Bu sistemaning koeffitsientlaridan quyidagi

uchinchi tartibli determinantni hosil qilamiz. So‘ng bu determinantning birinchi, ikkinchi va uchinchi ustunlarini mos ravishda ozod hadlar bilan almashtirib quyidagi determinantlarni tuzamiz:

Demak, (8) sistema berilgan holda har doim determinantlarga ega bo‘lamiz.

1-teorema. Agar

1) bo‘lsa, u holda (4) sistema yagona yechimga ega bo‘lib,

(2)

bo‘ladi;

2) bo‘lib, bo‘lsa, u holda (4) sistema yechimga ega bo‘lmaydi;

3) bo‘lsa, u holda (4) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi.

1-misol. Ushbu

tenglamalar sistemasi yyechilsin.

Avvalo sistema koeffitsientlaridan tuzilgan determinant­ni hisoblaymiz:

.

Demak, berilgan sistema yagona yechimga ega. Endi determinantlarni hisoblaymiz:

.

Unda

bo‘ladi.

Yuqorida keltirilgan tenglamalar sistemasining yechimini topish usuli Kramer usuli deyiladi.

Gauss usulining mohiyati noma’lumlarni ikkinchi tenglamadan boshlab, ketma-ket yo’qotib oxirgi tenglamada bitta no’malum qolguncha davom ettiriladi va oxirgi tenglamadan yuqoriga qarab no’malumlarni ketma-ket topib, yechim hosil qilinadi.