Mavzu. Chegaralari o’zgaruvchi bo’lgan aniq integrallar 4-ma’ruza reja 10. Uzluksizligi

2⁰. Differensiallanuvchanligi.

9—teorema. ([1], Theorem 11.9.1 (First Fundamental Theorem of Calculus, 338-bet) Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda funksiya nuqtada differensialanuvchi bo’ladi va

.

◄ funksiyaning nuqtadagi orttirmasi:

ni olib, quyidagi

ayrimani qaraymiz. Aniq integrallning xossalaridan foydalanib topamiz:

Bu munosabatdan

tengsizlik kelib chiqadi

Shartga ko’ra funksiya nuqtada uzluksiz. Ta’rifga asosan, olinganda ham shunday son topiladiki bo’lganda bo’ladi. Agar deb olsak, u holda uchun

bo’ladi. Natijada tengsizlik quyidagi

ko’rinishga keladi. Demak,

.

Bundan

ya’ni

tenglik kelib chiqadi. Yuqordagidek bo’lganda

ya’ni

tenglik ham o’rinli bo’lishi ko’rsatiladi. ►

Agar funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lib, va nuqtalarda uzluksiz (bunda funksiyaning da o’ngdan da esa chapdan uzluksizligi tushuniladi) bo’lsa, u holda

bo’lishi yuqoridagiga o’xshash ko’rsatiladi.

6–natija. funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda uchun

bo’ladi.

Demak, oraliqda uzluksiz funkisya shu oraliqda boshlang’ich funkisyaga ega, jumladan funksiya ning dagi boshlang’ich funksiyasi bo’ladi.

Endi quyi chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan integralni qaraymiz. funkisya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda bu funksiya oraliqda ham integrallanuvchi va bu integral ga bog’liq bo’ladi. Uni

deb belgilaymiz. Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz.

.

Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi. Bu tenglik funksiyaning xossalarini hamda funksiyalarning xossalari orqali o’rganish mumkinligini ko’rsatadi. Jumladan, agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u holda

bo’ladi. Haqiqatan ham, bu holda mavjud va u chekli son, funksiya esa yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra da hosilaga ega bo’ladi.