Mavzu: Asosiy kombinatsiyalar. O‘rinlashtirish, o‘rin almashtirishlar. Gruppalashlar

3- teorema. ta elementdan tadan gruppalashlar soni eng kattasi ga teng bo‘lgan ta ketma-ket natural sonlar ko‘paytmasining dastlabki ta natural sonlar ko‘paytmasiga nisbati kabidir: .
4- misol. Qurilish tashkilotining duradgorlar bo‘limida 15 nafar ishchi bor. Ko‘p qavatli uyning eshiklarini ta’mirlash uchun 3 nafar duradgorni tanlash zarur. Agar bo‘limdagi har bir duradgor bu topshiriqni bajarishga layoqatli bo‘lsa, bunday tanlash imkoniyatlari (variantlari) qancha?
Bo‘limdagi har bir duradgor ta’mirlash ishini bajarishga layoqatli bo‘lgani uchun, bu masalani hal qilishda gruppalashlar sonini topish formulasidan foydalanish mumkin. Bu yerda , va . Demak, 15 nafar duradgorlar orasidan 3 nafarini tanlash imkoniyatlari soni 455 ekan. ■
Agar ta’rif sifatida qabul qilinsa, ta elementdan tadan gruppalashlar soni uchun yuqorida keltirilgan formula bo‘lgan holda ham to‘g‘ri bo‘ladi: . Tabiiyki, ta elementdan barcha elementlarni o‘z ichiga oladigan faqat bitta gruppalash tashkil etish mumkin: .
Gruppalashlar sonini hisoblash uchun
,
ko‘rinishdagi formulalardan ham foydalanish mumkin. Bu formulalar quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:

.
Ixtiyoriy natural soni uchun gruppalashlar soni bir qator xossalarga ega, masalan,
( ),
( ).
Haqiqatdan ham,
,



.



Muammoli masala va topshiriqlar

1. 
   Shaxmat taxtasiga 8ta ruxni bir-biriga hujum qilmaydigan qilib necha xil usul bilan joylashtirish mumkin?
   
2. 
   Ma’noga ega bo‘lmaganlarini ham e’tiborga olgan holda a, i, t, r harflaridan 4 harfli nechta so‘z tuzish mumkin?
   
3. 
   9 nafar kishilarning rais, rais o‘rinbosari, kotib va ish yurituvchi vazifalariga tayinlanish imkoniyatlarini toping
   
4. 
   Turli 5 rangdagi bo‘yoqlardan 3 xil rangli bo‘yoq tanlash imkoniyatlari sonini aniqlang.
   
5. 
   Musobaqada 10 komanda ishtirok etayotgan bo‘lsa, ulardan uchtasi oltin, kumush va bronza medallarini olish imkoniyatlari sonini aniqlang.
   
6. 
   Kutubxonada 6 tilning har biridan boshqalariga bevosita tarjima qilish uchun yetarli lug‘atlar mavjud. Tillar soni 10ta bo‘lganda kutubxonaga yana qancha lug‘at kerak?
   
7. 
   Do‘konda 10 xil qo‘g‘irchoqlar sotilayotgan bo‘lsin. 8 dona turli qo‘g‘irchoqni sotib olish imkoniyatlari sonini aniqlang.
   
8. 
   Barcha raqamlari turlicha bo‘lgan 7 raqamli telefon nomerlari sonini toping.
   
9. 
   Har bir yigit faqat bitta qizni o‘yinga taklif qilish sharti bilan 4 nafar yigit 6 nafar qizlarni taklif etayotgan bo‘lsa, bunday takliflar sonini toping.
   
10. 
    Bir kishida 7ta, boshqa kishida esa 9ta kitob bor. Bu kishilar bir-birlari bilan ikkitadan kitob almashishmoqchi. Kitob almashishlar sonini aniqlang.
    
11. 
    28 dona domino soqqalarini 4 o‘yinchiga teng taqsimlash imkoniyatlari sonini toping.
    
12. 
    Temir yo‘l vagoni kupesida bir-biriga qarama-qarshi o‘tirishga mo‘ljallangan va har birida 5tadan o‘rinlari bo‘lgan 2ta o‘rindiq bor. 10 nafar yo‘lovchilardan 4tasi poyezdning yurishi yo‘nalishiga qarab, boshqa 3tasi teskari yo‘nalishga qarab o‘tirishni hohlaydi, qolgan 3tasi uchun esa qaysi yo‘nalishga qarab o‘tirishning farqi yo‘q. Yo‘lovchilarni o‘rindiqlarga joylashtirishlar imkoniyatlari sonini aniqlang.
    
13. 
    Beshta har xil bayroqchani istalgan son va tartibda ko‘tarib hosil qilish mumkin bo‘lgan turli signallar sonini aniqlang.
    
14. 
    Qavariq o‘nburchak diagonallari sonini aniqlang.
    
15. 
    Tekislikda har uchtasi bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan to‘qqizta nuqta berilgan. Agar bu nuqtalarning har uchtasidan birgina aylana o‘tkazish mumkin bo‘lsa, berilgan nuqtalardan nechta aylana o‘tkazish mumkinligini aniqlang.
    
16. 
    Quyidagi ayniyatlarni isbot qiling:
    

a) ; b) ;
d) ; e) ;
f) ;

17. 
    Quyidagi tenglamalarni hal qiling:
    

a) ; b) ; d) ;
e) ; f) ; g) .