Мавзу: Аксиомалар системасини изоҳлаш. Погорелов аксиомалари. Вейл аксиомалар системаси. Аксиомалар системасига қўйиладиган талаблар. Параллеллик аксиомаси. Риман геометрияси

Мавзу: Аксиомалар системасини изоҳлаш. Погорелов аксиомалари. Вейл аксиомалар системаси. Аксиомалар системасига қўйиладиган талаблар. Параллеллик аксиомаси. Риман геометрияси

Аксиома (қадимги юнонча: ἀξίωμα — ахиома) — оʻз-оʻзидан равшанлиги, аёнлиги сабабли ис-боциз қабул қилинадиган ҳолат, тасдиқ, фикр. Дедуктив қуриладиган илмий назарияларда асосий тушунчаларнинг бошлангʻич хоссалари. Аксиомалар тизими билан киритилади ва бошқа ҳамма хоссалар, тасдиқлар (теоремалар) улардан фойда-ланиб мантиқий исбот қилинади. Айният қонуни, зиддият қонуни, учинчи истисно қонуни мантиқий Аксиома ҳисобланади. Аксиомага мисол сифатида Евклид геометриясииат параллеллик Аксиомасини келтириш мумкин: „Текисликда а тоʻгʻри чизиққа тегиш-ли боʻлмаган О нуқта орқали шу тоʻгʻри чизиққа биттадан ортиқ параллел тоʻгʻри чизиқ оʻтказиш мумкин эмас“. Архимед аксиомаси, Сермело аксиомаси ва бошқа Аксиома атамаси Юнонистонда пайдо булган, биринчи маротаба Аристотел асарларида ишлатилган.Абу Наср Форобий, Умар Хайём, ал-Хоразмий ва бошқа алломалар ҳам Аксиомани атрофлича текширишган1. Илгаригидек, V₃ оркали R ҳакикий сонлар майдонидаги уч ўлчовли вектор фазони белгилаймиз. Е эса бўш бўлмаган тўплам бўлиб, унинг элементларини нуқталар деб атаймиз.

Фараз қиламиз, бизга :ЕХЕV₃ акслантириш берилган бўлиб, (А, В) векторни деб белгилаймиз. Бўлардан ташкари акслантиришлар тўплами берилган бўлиб, бу тўпламга тегишли ҳар бир акслантириш V₃ Х V₃ R кўринишга эга бўлсин.
Агар қуйидаги аксиомалар ўринли бўлса:

1. 
   Ҳар бир АЕ нуқта ва иҳтиёрий вектор учун шартни қаноатлантирувчи ягона Х нуқта мавжуд,
   
2. 
   Ҳар кандай А, В ва С нуқталар учун тенглик бажарилади,
   
3. 
   акслантиришлар тўплами мусбат аниқланган бу чизиқли формалар тўплами бўлиб, бунда бучизиқли форма ва мусбат  сони учун ,
   

у ҳолда, Е тўплам Е₃ уч ўлчовли ҳакикий Евклид фазоси дейилади.
Кўриш мумкинки, 1-2 аксиомалар уч ўлчовли ҳакикий А₃ аффин фазоси структурасини аниқлайди. (бунда V₃ вектор фазо А₃ нинг элтувчисидир.)
Шундай қилиб, Е₃ Евклид фазоси структурасининг базаси Е,V₃,R учта тўпламлар системасидан иборатки, бунда Е-нуқталар тўплами, V₃-уч ўлчовли вектор фазо, R-ҳақиқий сонлар майдони. Е₃ фазо структураси Вейлнинг 1-3 аксиомалар системаси билан аниқланади.Бу аксиомалар системасини деб белгилаймиз.
Шуни айтиш керакки, биз аналитик геометрияда n- ўлчовли Евқилид фазосининг Вейль аксиомалари системасини келтирган эдик. N=3 бўлганда Е₃ фазо аксиомалари системасини ҳосил қиламиз. Бу ерда келтирилган аксиомалар системаси олдинги системадан қисман шаклининг ўзгарганлиги Билан фарқ қилади. Бу ерда келтирилган 3-аксиома Вейль аксиомалар системасининг E₃ фазосининг бошқа аксиомалари системасига тенг қучли бўлишини таъминлайди. (Хусусан, Гильберт аксиоматикаси билан).
2. Энди системанинг зиддиятсизлигини исботлаймиз. Бунинг учун R ҳақиқий сонлар тўпламидан фойдаланиб Ушбу аксиомалар системасининг интерпретациясини кўрамиз.
Ихтиерий а₁,а₂,а₃R сонлари учун кўринишдаги вектор деб атаймиз. Векторларни қўшиш ва сонга кўпайтириш одатдагидек қуйидагича аниқлаймиз:


+ = ва =

Бу холда V₃ вектор фазонинг илгари кўриб ўтилган I₁-I₈ аксиомалари бажарилишини текшириш қийин эмас.

Ноль вектор вазифасини устун, базис векторлари сифатида , ва векторларни олиш мумкин .
Мусбат аниқланган бу чизиқли формалар синфини қуйидагича аниқлаймиз: , векторлари учун g₀( )=x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃ учун ,( ) синфни тўзамиз.
Бу холда Вейлнинг юқоридаги 3-аксиомаси бажарилади.
Ихтиерий m₁,m₂,m₃ ҳақиқий сонлари учун (m₁,m₂,m₃) кўринишдаги ихтиерий сатрни нуқта деб атаймиз.
: ЕхЕ V₃ акслантиришни
((m₁,m₂,m₃),(n₁,n₂,n₃))= кўринишда аниқлаймиз.
Ана шундай кесишувлар қилинса, Вейлнинг 1-2 аксиомалари хам бажарилади. Хакикатдан хам, текшириб кўрайлик.
1-аксиома. А=(а₁,а₂,а₃) ихтиерий нуқта , ихтиёрий вектор бўлсин. тенгликни қаноатлантирадиган Х=(х₁,х₂,х₃) ягона нуқта мавжудлигини кўрсатиш керак.
Х₁-а₁=р₁ , х₂-а₂=р₂, х₃-а₃=р₃ тенгликларни қаноатлантирадиган ягона Х(х₁,х₂,х₃) нуқта мавжуд.
2-аксиома. А=(а_1,а₂,а₃), В=(в₁,в₂,в₃) ,С=(с₁,с₂,с₃) ихтиерий учта нуқталар учун
, ,

Векторлари учун тенглик бажарилади.

Шундай қилиб, қуйидаги теорема исботланди.
1-теорема. Агар ҳақиқий сонлар арифметикаси зидсиз бўлса, у холда Вейлнинг 1-3 аксиомалари системаси хам зидсиз системадир.
Биз аналитик геометрияда V₃ вектор фазода вектор кординаталари тушунчасини ва Е₃ фазода нуқта кординаталари тушунчасини киритган эдик.
ВЕКТОР.
Элементар геометрия кўрсидан маьлумки:
Кесма-тўғри чизиқнинг икки томондан икки нуқта билан чегараланган бўлагидир.
Кесмани характерловчи катталик унинг узунлигидир. Берилган узун кесмани малум бирлик билан улчашимиз билан биз доимо мусбат сон оламиз. Агар бизга ва кесмалари берилган бўлса, кесмани кесмага қуйганимизда кесма кесмага бир неча марта жойлашади. У холда кесма кесмага тула  сон марта жойлашиши мумкин. Бу ердаги  сони натурал сон чикиши мумкин, рационал сон чикиши еки иррационал сон чикиш мумкин. Агар кесманинг m марта кесмага қуйсак кесмага Тула m марта жойлашса кесма, у холда биз =m натурал сонига эга бўламиз, m марта қуйиб кесмадан озгина ортиб колса, m+1 марта қуйсак кесма кесманинг охири B нуқтадан ката бўлиб кетса ( B нуқта кесмани ички нуқтаси бил утма уст тушса) у холда = ратционал ёки иррационал сон ҳосил бўлади. Агар кесманинг узунлиги 1 га тенг бўлса, бу холда  кесманинг узунлиги бўлади. Умуман  ва кесмалар узунликларининг нисбатини билдирувчи сондир. =1 бўлса, кесмалар тенг (конурент) бўлади.Демак кесмани факат унинг узунлиги билан характерлаш мумкин.
Энди фазода ихтиерий иккита А ва В нуқта малум бир олдиндан тайинланган тартибда берилган бўлса, масалан, А биринчи нуқта, В эса иккинчи деб берилган бўлса, бу нуқталар бизга йуналиши буйича (А дан В га йуналишда) берилган кесма бўлади еки йуналган кесма бўладики бошлангич нуқтаси А ва охирги нуқтаси В. Худи шу йуналган кесма кискача вектор дейилади.
Бошлангич нуқтаси А охирги нуқтаси В бўлган вектор кўринишда белгиланади. Агар векторнинг бошлангич ва охирги нуқталари устма-уст тушса, бундай вектор нулевой вектор дейилади ва =0 кўринишда езилади.
Вектор узунлигини АВ кўринишда еки (АВ) белгилаймиз ва уни базан векторнинг абсалют киймати еки модули деб аташади. Векторнинг ўзини, масалан кўринишда еки йугон бита харф Билан  кўринишда белгилаймиз.
Агар икки ва векторлари бир тўғри чизиқка қуйилган бўлса, ва уларнинг узунликлари тенг ( ва кесмалари тенг ) ва йуналишлари бир хил бўлса бу векторлар ўзаро тенг векторлардир.
Уша ерда кўрилган интерпретация билан юқорида кўрилган интерпретация изоморфдир. Демак _w аксиомалар системасининг хар кандай иккита интерпретациялари изаморфдир. Бундан кўринадики, Вейлнинг 1-3 аксиомалари системаси тулик системани ташқил қилади.
_W аксиомалар системасидан фойдаланиб , уч ўлчовли Е₃ фазода мавжуд бўлган барча тушунчаларни келтириш мумкин.
Аксиомаларнинг бешинчи гурущи битта параллеллик аксиомасидан иборат.
V аксиома. Бизга тўғри чизик ва ундан ташкарида ётувчи А ну=та берилган былсин. У щолда А нукта щамда тўғри чизик ётувчи текисликда А нуктадан тўғри чизик билан кесишмайдиган биттадан орти= былмаган тўғри чизиқ ўтказиш мумкин .
Бу тўғри чизиr берилган тўғри чизикка параллел дейилади.