Чизиқлимас тенгламалар системасини ечишнинг итерацион методлари. Режа

Чизиқлимас тенгламалар системасини ечишнинг итерацион методлари.
Режа:

1. 
   Умумий тушунчалар.
   
2. 
   Стационар методнинг яқинлашиши.
   
3. 
   Итерацион методлар мисоллари.
   

1. Умумий тушунчалар.
(1)
тенгламалар системасини қараймиз. Бу ерда ҳақиқий ўзгарувчиларнинг функцияси. Бундан кейин (1) - системани n- ўлчовли Н фазосидаги оператор тенглама сифатида қараймиз.

каби белгилаб, (1) - системани
(2)
ихчам кўринишда ёзамиз.
Бу ерда F : H H умуман чизиқлимас акслантириш. (2) - системанинг кўпгина бир қадамли итерацион методларни
(3)
кўринишда ёзиш мумкин, бу ерда х⁰ берилган , k - итерация номеридир.

параметр, B_k+1 - n x n , тескариси мавжуд бўлган матрицадир.
x^k+1 ни x^k орқали (3) - дан топиш учун
(4)
чизиқли тенгламалар системасини ечиш керак, бу ерда

Агар B_k+1 = E бўлса метод ошкор , акс ҳолда ошкормас дейилади. Агар В ва -лар k боғлиқ бўлмасалар метод стационар дейилади.


2. Стационар методнинг яқинлашиши.
Фараз қиламиз (3) - метод стационар бўлсин.
Унда уни
(5)
кўринишда , дастлабки тенгламани
(6)
кўринишда ёзиш мумкин. Бу ерда

Н, n -ўлчовли чизиқли нормаланган фазо бўлсин. х_* Н , (х_*)=х_* нуқта (x) операторнинг қўзғалмас нуқтаси деб айтилади. Равшанки х_*, (x) операторнинг қўзғалмас нуқтаси бўлгандагина ва фақат шундагина (2) - оператор тенгламанинг ечими бўлади. Шундай қилиб (2) - оператор тенгламанинг ечимини қидириш (x)- нинг қўзғалмас нуқтасини топишга эквивалентдир. Агар q (0,1) ва ихтиёрий векторлар учун

бажарилса (x) оператор тўпламда қискартириб акслантириш деб айтилади. Энди биз қискартириб акслантириш принципи деб аталувчи ва
(7)
оддий итерация методи яқинлашиш шартини аниқловчи теоремани келтиришга қодирмиз.
1- теорема. Фараз қиламиз (x)

тўпламда аниқланган ва q коэффициентли қисқартириб акслантириш бўлиб
(8)
бўлсин. Унда нинг U_r(a) да ягона қўзғалмас нуқтаси мавжуд бўлиб, (7) - итерацион метод ихтиёрий учун ягона х_* га яқинлашади.
Хатолик учун
(9)
(10)
баҳолар (тенгсизликлар) ўринли.


3. Итерацион методлар мисоллари.
1- мисол. Релаксация методи. Бу метод (3)-нинг хусусий ҳоли бўлиб, B_k+1 = E , . Бу стационар методни

кўринишда ёзиш мумкин. Бу ерда

бўлганда метод яқинлашади.
Бу ерда ва
(11)


2-мисол. Пикар методи.
F(x) = Ax +G(x) кўринишда тасвирланади. Бунда A – n x n матрица. Унда итерацияни

кўринишда аниқлаш мумкин.
3- мисол. Ньютон методи.
Фараз қиламиз аллақачон аниқланган бўлсин. F(x) функцияни x^k да Тейлор формуласи бўйича ёйилмасини қараймиз.

Бу тенгликдаги кичик ҳадни ташлаб
(12)
тенгликларни ҳосил қиламиз. (12)- чизиқли система ечимини x^k+1 яқинлашиш сифатида қараймиз. Шундай қилиб Ньютоннинг итерацион методи
(13)
тенгламалар системаси орқали аниқланади. Бу тенгликдан x⁰ дастлабки яқинлашишдан фойдаланиб кетма-кет бошқа яқинлашишларни топамиз.


4-мисол. Якобининг чизиқлимас методи.
(1) - система учун Якобининг чизиқлимас методи
(14)
кўринишда бўлади. Бу ерда x^k+1 ни топиш учун n - та чизиқлимас скаляр тенгламалар системасини ечишга тўғри келади. Ҳар бир тенглама учун бирор-бир итерацион методни қўллаш мумкин.


5-мисол. Зейдельнинг чизиқлимас методи.
Бу метод кетма-кет

тенгламаларни номаълумга нисбатан ечишдан иборат.

Таянч иборалар:

Илдиз (ечим).

Оралиқни тенг иккига бўлиш.
Илдизларни ажратиш.
Илдизга кетма-кет яқинлашиш.
Тақрибий илдизнинг хатолиги.
Яқинлашиш тезлиги.
Интерполяцион метод.

Текшириш учун саволлар.

Ечим нима?

Тақрибий ечим нима?
Хатолик нима?
Итерацион метод нимадан иборат?
Бисекция методи нимадан иборат?
Оддий итерация методи қандай?
Ньютон методи нимадан иборат?
Интерполяцион методи нимадан иборат?
Яқинлашиш қандай аниқланади?
қайси метод тез яқинлашади?