Yechish.
lim(3х + 1) = 3 × 2 + 1 = 7 ¹ 0 . Shuning uchun:
x®2
х +
x®2
lim 2 х + 3 = lim (2
3) 2 × 2 + 3 7
= =
= 1.
x®2 3 х + 1
lim (3 х + 1)
x®2
3 × 2 + 1 7
misol. lim х + 1
x®3 х - 3
ni toping.
Yechish.
Suratning limiti
lim(х - 3) = 3 - 3 = 0
x®3
lim( х + 1) = 3 + 1 = 4 ¹ 0
x®3
bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi. bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini
topamiz:
lim х - 3 = lim ( х
x®3
-
+
3) 3 - 3 0
= = = 0 .
+
x®3 х + 1
lim ( х 1)
x®3
3 1 4
Bundan
lim х + 1 = ¥
x®3 х - 3
kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz
katta funksiya bo’ladi.
Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) ³ 0 va
lim f ( x) = b
x® а
(b-chekli son) bo’lsa, u holda
b ³ 0
bo’ladi.
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni
lim f (x) = b
x®а
bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-
b| ³ | b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f( х)- b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f( x)
funksiyaning
х ® a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0
degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f( x) ³ 0
bo’lsa
lim f ( x) ³ 0
x® а
bo’lar ekan.
Shunga o’xshash limitga ega
mumkin.
f ( x) £ 0
funksiya uchun
lim f ( x) £ 0
x® а
bo’lishini isbotlash
Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.
Teorema. Agar
х ® а
da limitga ega
f1( x) va
f2 ( x)
funksiyaning mos qiymatlari
Isboti. Shartga ko’ra
f1( x) ³
f2 ( x) , bundan
f1( x) - f2 ( x) ³ 0. Oldingi teoremaga binoan
lim [ f1(x) - f2 (x) ] ³ 0 yoki
x ®а
lim
x ®а
f1(x) - lim
x ®а
f2 (x) ³ 0. Bundan
lim
x ®а
f1(x) ³ lim
x ®а
f2 (x)
tengsizlik kelib
chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan.
Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos
qiymatlari uchun u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklar bajarilsa va
lim u(x)= lim z(x)=b bo’lsa, u holda
lim v(x)=b bo’ladi.
x ®а
x ®а
x ®а
Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan e >0 son uchun а nuqtaning
x ®а
x ®а
d1 -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun
| u(x) - b |< e
tengsizlik bajariladi. Shunga
o’xshash shu e >0 son uchun а ning
d 2 -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun
| z(x) - b |< e
tengsizlik bajariladi. Agar d orqali
d1 va d 2
sonlarning kichigini belgilasak а
nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar uchun Bular
| u(x) - b |< e
va | z(x) - b |< e
tengsizlik bajariladi.
- e < u( x) - b < e
tengsizliklarga teng kuchli.
va - e < z(x) - b < e
(17.1)
Endi teorema shartidagi u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli b £ z(x) - b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).
u(x) - b £ v(x)-
Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak
- e < u(x) - b £ v(x)-b £ z(x) - b < e
yoki bundan
- e <v(x)-b < e
tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar
uchun - e <v(x)-b < e
tengsizlik o’rinli ekan.
Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.
x ®а
Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.
misol. lim sin x = 0
x®0
isbotlansin.
Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.
chizmadan: x>0 bo’lsa
АС = sin x ; АС= sin x ,
ОА
(
АВ = х
В
(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< А (
yoki
sin x <x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda | sin x |<|x|
bo’lishi ravshan.
Shunday qilib x>0 uchun 0< sin x <x va x<0
uchun 0<| sin x |<| x| tengsizliklarga ega bo’ldik.
lim 0 = lim x = 0
87-chizma. ekanligini hisobga olsak 17.6-
teoremaga binoan
lim sin x = 0
x®0
x®0
ekanligi kelib chiqadi.
x®0
misol. lim sin x = 0
isbotlansin.
Yechish.
x®0
0 <
2
sin x
< sin x
ekani ravshan.
lim 0 = lim sin x = 0
bo’lgani uchun 17.6-
2 x®0
x®0
teoremaga binoan lim sin x = 0
yoki lim sin x = 0
kelib chiqadi.
x®0 2
x®0 2
misol. lim соsx = 1
x®0
ekanligi isbotlansin.
Yechish.
æ
2 s i 2n х = 1 - с o xs
2
х ö
yoki
х
сos x = 1 - 2sin 2 х
2
ekanligini e‘tiborga olsak
lim сos x = lim ç 1- 2sin2 ÷ =
1- 2lim sin 2 = 1 - 2 × 0 2 = 1
hosil bo’ladi.
x®0
x®0 è
2 ø x®0 2
Birinchi ajoyib limit
sin x x
funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,
mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi
0 ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning
0
х ® 0
dagi
limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.
sin x x
funksiya
х ® 0 da 1 ga teng limitga ega.
æ
ç 0,
è
Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u
÷
p ö intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).
2 ø
Chizmadan ko’rinib turibdiki,
D АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi< D DOB yuzi (17.2).
Biroq, D АОВ yuzi = 1 ОА× ОВ × sin x = 1 ×1×1sin x = 1 sin x
(uchburchakning yuzi ikki tomoni va
2 2 2
ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).
АОВ sektor yuzi =
1 ОВ2 × АВ = 1 ×12 × х = 1 x ,
(
2 2 2
D DOB yuzi = 1 ОВ × ВD = 1 ОВ × BD = 1 ×1× tgx = 1 tg x .
2 2 1 2 2
Shu sababli (17.2) tengsizliklar
1 sin x < 1 x < 1 tgx
ko’rinishni yoki
1 ga qisqartirilgandan so’ng
sin x < x < tgx
ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz
ç 0 < x <
è
÷ . U
2 ø
holda 1<
х
sin x
< 1
сos x
yoki
1> sin x > сos x
x
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.
sin (-x) = sin x ,
сos(- x) = сosx
ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham
(- x) x
to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 = 1 va
x®0
lim соsx = 1.
x®0
Demak,
sin x x
funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga
teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan
oraliqdagi
sin x x
funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni
lim
x ®0
sin x =1.
x
у = sin x
x
funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.
sin x
misol. lim
tg x = lim
cos x = lim
sin x
1 = lim
sin x lim
1 =1× 1 = 1.
x ®0 x
x ®0 x
x ®0
x cos x
x ®0
x x ®0
cos x 1
misol. lim
sin mx = lim
m × sin mx = m lim
sin mx = m×1= m ( m-o’zgarmas son).
x ®0 x
x ®0
mx x ®0 mx
misol. lim
sin a x = lim
sin a x
x =
lim
x ®0
sin a x x
= a .
x ®0
sin bx
x ®0
sin bx
lim sin bx b
x x®0 x
88-chizma.
0>0>0>0>
Do'stlaringiz bilan baham: |