Mavzu : Funksiyaning

Yechish.

lim(3х + 1) = 3 × 2 + 1 = 7 ¹ 0 . Shuning uchun:

x®2
х +

x®2
_lim 2 х + 3 ₌ <sup>lim (2

3)</sup> 2 × 2 + 3 7

= =

= 1.

^x®2 3х + 1

lim (3х + 1)

x®2

3 × 2 + 1 7

6. 
   misol. lim ^{х + 1}
   

x®3 _{х - 3}
ni toping.

Yechish.

Suratning limiti

lim(х - 3) = 3 - 3 = 0

x®3
lim(х + 1) = 3 + 1 = 4 ¹ 0

x®3

bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi. bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini

topamiz:

lim _{х - 3} = lim (х


x®3

-
+

³⁾ 3 - 3 0

= = = 0 .

+

x®3 _{х + 1}

lim (х 1)

x®3

3 1 4

Bundan

lim ^{х + 1} = ¥

x®3 _{х - 3}
kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz

katta funksiya bo’ladi.

Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha х lar uchun у=f(x) ³ 0 va

lim f (x) = b

x®а

(b-chekli son) bo’lsa, u holda

b ³ 0

bo’ladi.

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni

lim f (x) = b

x®а

bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |f(х)-

b| ³ |b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(х)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x)

funksiyaning

х ® a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0

degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x) ³ 0

bo’lsa

lim f (x) ³ 0

x®а

bo’lar ekan.

Shunga o’xshash limitga ega
mumkin.

f (x) £ 0

funksiya uchun

lim f (x) £ 0

x®а

bo’lishini isbotlash

Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.

Teorema. Agar

х ® а

da limitga ega

f₁(x) va

f₂ (x)

funksiyaning mos qiymatlari

uchun

f₁(x) ³

f₂ (x) tengsizlik bajarilsa, u holda

lim

x ®а

f₁(x) ³ lim

x ®а

f₂ (x)

bo’ladi.

Isboti. Shartga ko’ra

f₁(x) ³

f₂ (x) , bundan

f₁(x) - f₂ (x) ³ 0. Oldingi teoremaga binoan

lim [ f₁(x) - f₂ (x) ] ³ 0 yoki

x ®а

lim

x ®а

f₁(x) - lim

x ®а

f₂ (x) ³ 0. Bundan

lim

x ®а

f₁(x) ³ lim

x ®а

f₂ (x)

tengsizlik kelib

chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan.

Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos

qiymatlari uchun u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklar bajarilsa va

lim u(x)= lim z(x)=b bo’lsa, u holda

lim v(x)=b bo’ladi.

x ®а

x ®а

x ®а

Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan ^e >0 son uchun а nuqtaning

x ®а

x ®а

d₁ -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun

| u(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi. Shunga

o’xshash shu ^e >0 son uchun а ning

d ₂ -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun

| z(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi. Agar d orqali

d₁ va d ₂

sonlarning kichigini belgilasak а

nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar uchun Bular

| u(x) - b |< e

va | z(x) - b |< e

tengsizlik bajariladi.

- e < u(x) - b < e

tengsizliklarga teng kuchli.

va - e < z(x) - b < e

(17.1)

Endi teorema shartidagi u(x) £ v(x) £ z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli b £ z(x) - b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).

u(x) - b £ v(x)-

Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak

- e < u(x) - b £ v(x)-b £ z(x) - b < e

yoki bundan

- e <v(x)-b < e

tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib а nuqtaning d -atrofidagi barcha х lar

uchun - e <v(x)-b < e

tengsizlik o’rinli ekan.

Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.

x ®а

Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.

6. 
   misol. lim sin x = 0
   

x®0

isbotlansin.

Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.

87. 
    chizmadan: x>0 bo’lsa
    

^АС = sin x ; АС= sin x ,

ОА

(

АВ =х

В
(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< А ⁽

yoki

sin x <x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda | sin x |<|x|

bo’lishi ravshan.

Shunday qilib x>0 uchun 0< sin x <x va x<0

uchun 0<| sin x |<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik.
lim 0 = lim x = 0


87-chizma. ekanligini hisobga olsak 17.6-

teoremaga binoan
lim sin x = 0

x®0

x®0
ekanligi kelib chiqadi.

x®0

9. 
   misol. lim sin ^x = 0
   

isbotlansin.

Yechish.

x®0

0 <

2

sin ^x

< sin x

ekani ravshan.

lim 0 = lim sin x = 0

bo’lgani uchun 17.6-

₂ x®0

x®0

teoremaga binoan lim sin ^x = 0

yoki lim sin ^x = 0
kelib chiqadi.

x®0 ₂

x®0 ₂

9. 
   misol. lim соsx = 1
   

x®0

ekanligi isbotlansin.

Yechish.

æ

2 s i ²n ^х = 1 - с o xs

2

^х ö
yoki
х

сos x = 1 - 2sin ^{2 х}

2
ekanligini e‘tiborga olsak

^{lim сos x = lim} ç^{1- 2sin2} ÷ ⁼

1- 2lim sin² = 1 - 2 × 0² = 1

hosil bo’ladi.

x®0

x®0 <sub>è

2 ø</sub> x®0 ₂

Birinchi ajoyib limit

sin x x

funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,

mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi

⁰ ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning

0

х ® 0

dagi

limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.

Teorema.

sin x x

funksiya

х ® 0 da 1 ga teng limitga ega.

æ

_ç 0,

è

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u


÷
^{p ö} intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).

2 _ø

Chizmadan ko’rinib turibdiki,

D АОВ yuzi<АОВ sektor yuzi< D DOB yuzi (17.2).

Biroq, D АОВ yuzi = ¹ ОА× ОВ × sin x = ¹ ×1×1sin x = ¹ sin x
(uchburchakning yuzi ikki tomoni va

2 2 2

ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).

АОВ sektor yuzi =

¹ ОВ² × АВ = ¹ ×1² × х = ¹ x ,

(
2 2 2

D DOB yuzi = ¹ ОВ × ВD = ¹ ОВ × ^BD = ¹ ×1× tgx = ¹ tg x .

2 2 1 2 2

Shu sababli (17.2) tengsizliklar

¹ sin x < ¹ x < ¹ tgx
ko’rinishni yoki

¹ ga qisqartirilgandan so’ng

2 2 2

2

æ ^p ö

sin x < x < tgx

ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz

_ç 0 < x <

è

_÷ . U

2 _ø

holda 1<

х


sin x

_< 1

сos x
yoki

1> ^{sin x} > сos x

x

tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.

sin (-x) ₌ sin x _,
сos(- x) = сosx
ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham

(- x) x

to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 = 1 va

x®0

lim соsx = 1.

x®0

Demak,

sin x x
funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga

teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan

oraliqdagi

sin x x
funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni
lim

x ®0

sin x _=1.

x

_{у =} sin x

x

funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.

sin x

9. 
   misol. lim
   

^{tg x} = lim


cos x _{= lim}

sin x

¹ = lim

sin x _lim

¹ =1× ¹ = 1.

x ®0 _x

x ®0 _x

x ®0

x cos x

x ®0

_x x ®0

cos x 1

9. 
   misol. lim
   

sin mx _{= lim}

m × ^{sin mx} =m lim

^{sin mx} =m×1=m (m-o’zgarmas son).

x ®0 _x

x ®0

mx ^{x ®0} mx

9. 
   misol. lim
   

sina x _{= lim}

sin a x



x ₌
lim

x ®0

sina x x
= ^a .

x ®0

sin bx

x ®0

sin bx

_lim sin bx _b

_x x®0 _x

88-chizma.