Mavzu : A. N. Kolmogorov aksiomalaridan kelib chiqadigan extimolning xossalari. Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi va hodisalar yig’indisining ehtimoli. To’la ehtimollik va Bayes formulalari

2.1 teorema. Agar voqealar Va ..., A „, P (A)> 0 hodisalarning to'liq guruhini, so'ngra hodisa ehtimolini tashkil qiladi V hodisaning shartli ehtimollari bilan to'liq guruh hodisalarining shartsiz ehtimolliklari ko'paytmalari yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin V:
To'liq guruh tadbirlari A" ..., A" juftlik mos kelmaydi, shuning uchun hodisa bilan ularning hosilalari (kesishmalar) ham juftlik mos kelmaydi. V, bular. voqealar V P A /, B P L, da i F j mos kelmaydigan. Tadbirdan beri V sifatida ifodalanishi mumkin

keyin, bu kengaytirish uchun qo'llash hodisalar V Ehtimollarni qo'shish aksiomasi bizda: 
Har bir atama uchun ehtimollarni (2.1.1) ko'paytirish formulasidan foydalanib, biz nihoyat olamiz:

L hodisalarining hodisalarning to‘liq guruhini tashkil etishi talabi kuchsizroq bilan almashtirilishi mumkin: juftlikdagi hodisalar
lekin bir-biriga yopishmang, Bcz ^ A r Bundan tashqari, aksiomaga asoslanib,
qo'shimchalar bo'yicha umumiy ehtimollik teoremasi sanab o'tiladigan juft bo'lingan hodisalar to'plamiga kengaytirilishi mumkin. A,-,
P (A,)> 0, tfcQ / l,:
Umumiy ehtimollik formulasidan (2.1.3) Bayes formulasini olish oson: hodisa uchun V Bilan P (B)> 0 va juftlik mos kelmaydigan tizim uchun
puf hodisalari A „R (L,)> 0, BczJ A,.,


Haqiqatan ham, shartli ehtimollik va ehtimollikni ko'paytirish formulalarini qo'llagan holda, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
hozir, hodisa ehtimoli o'rnini V umumiy ehtimollik formulasi bo'yicha (2.1.5) formulani olamiz.
Ehtimollar P (A,) voqealar Va, chaqirdi apriori ehtimolliklar, bular. eksperimentdan oldingi hodisalarning ehtimolliklari va bu hodisalarning shartli ehtimollari P (A,! B) - posteriori, bular. tajriba natijasida tozalangan, natijasi voqea sodir bo'lgan V.
Shartli ehtimollik - boshqa tegishli hodisa sodir bo'lgan bo'lsa, muayyan hodisaning yuzaga kelish ehtimoli. Keling, tanga tashlashning oddiy misolini olaylik. Agar hali durang bo'lmagan bo'lsa, unda bosh yoki quyruq olish imkoniyati bir xil bo'ladi. Ammo agar tanga ketma-ket besh marta gerb ko'tarilgan holda tushib qolsa, unda 6, 7 va undan ham ko'proq kutishga rozi bo'ling, bunday natijaning 10-takrorlanishi mantiqsiz bo'ladi. Boshlarning har bir takrorlanishi bilan dumlarning paydo bo'lish ehtimoli ortadi va ertami-kechmi u paydo bo'ladi.
Keling, bu qiymat qanday hisoblanganligini aniqlaymiz. Birinchi hodisani B bilan, ikkinchisini esa A bilan belgilaymiz. Agar B ning paydo bo'lish imkoniyatlari noldan farqli bo'lsa, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi:
P (A | B) = P (AB) / P (B), bu erda:

• 
  R (A | V) - umumiy A ning shartli ehtimoli;
  
• 
  P (AB) - A va B hodisalarining birgalikda sodir bo'lish ehtimoli;
  
• 
  P (B) - B hodisasining ehtimoli.
  

Ushbu nisbatni biroz o'zgartirib, biz P (AB) = P (A | B) * P (B) olamiz. Agar siz ariza topshirsangiz, mahsulot formulasini olishingiz va undan ixtiyoriy miqdordagi hodisalar uchun foydalanishingiz mumkin:
P (A 1, A 2, A 3, ... A p) = P (A 1 | A 2 ... A p) * P (A 2 | A 3 ... A p) * P (A 3) | A 4 ... A p ) ... P (A p-1 | A p) * P (A p).

2.