Matritsalar va ular ustida amallar. Teskari matritsa

Matritsalar va ular ustida amallar. Teskari matritsa

m ta satr va n ta ustundan iborat to’g’ri to’rtburchak shaklidagi ta sondan tashkil topgan jadval x tartibli matritsa, uni tashkil etgan sonlar esa matritsaning elementlari deyiladi. Matritsa quyidagi ko’rinishda yoziladi.

=
Agar matritsa m=n≠1 bo’lsa, u kvadrat matritsa; ( ) bo’lsa, to’g’ri burchakli matritsa deyiladi. Masalan:

Matritsa 2x3 tartibli matritsadir.
Agar A va B matritsalar bir xil tartibli va ularning mos elementlari o’zaro teng bo’lsa, ya’ni shart bajarilsa, ular teng matritsalar deyiladi va uni A=B kabi yoziladi. Masalan,
A= va B= matritsalar o’zaro tengdir.
Diagonal elementlaridan boshqa barcha elementlari nolga teng bo’lgan kvadrat matritsa diagonal matritsa deyiladi.
Masalan: = ; matritsalar diagonal matritsaga misol bo’la oladi.
Barcha diagonal elementlari 1 ga teng bo’lgan n-tartibli diagonal matritsa n-tartibli birlik matritsa deyiladi va u E bilan belgilanadi. Masalan:
va =
matritsalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli birlik matritsalardir.
Barcha elementlari nolga teng bo’lgan ixtiyoriy m x n tartibli matritsa nol matritsa deb ataladi va u 0 bilan belgilanadi.
Demak,
= ; = ; =
Agar m x n tartibli matritsada m=1 bo’lsa, u holda
A=
bo’lib, unga satr matritsa deyiladi. Agar n=1 bo’lsa u holda B=
bo’lib, unga ustun matritsa deyiladi.
Ikkita m x n tartibli.
A , va
matritsalar mos elementlari yig’indilaridan (ayirmalaridan) tashkil topgan m x n tartibli matritsa A va B matritsalar yig’indisi (ayirmasi) deb ataladi va A+B (A-B) kabi belgilanadi.

Yuqorida aytilganlardan

2
3
4
bo’lishi ravshan.
Biror son va matritsani qaraymiz. matritsa quyidagidan iborat bo’ldi.
;

A va B matritsalar hamda ixtiyoriy va sonlar uchun quyidagilar o’rinlidir:

)= ;
2 (A+B)= ;
3 ( .
va matritsalarning ko’paytmasi deb shunday =( matritsaga aytiladiki, uning elementlari ushbu

yig’indilar kabi aniqlanadi va AB kabi yoziladi.
Ko’paytma matritsa mavjud bo’lishi uchun A matritsaning ustunlari soni B matritsaning satrlari soniga teng bo’lishi kerak. Aytaylik,

bo’lsin. U holda AB matritsa quyidagicha aniqlanadi.
=
Aytaylik A va B matritsalar quyidagi ko’rinishda bo’lsin:
A= , B=
u holda AB ko’paytma quyidagicha aniqlanadi.
AB=
Matritsalar ko’paytmasi va yig’indisi quyidagi qonunlarga bo’ysunadi hamda ushbu xossalarga ega bo’ladi:
I. A = C, B=A .
II. A =AB+AC, C=AC+BC.
III. AE=EA=A, 0 A=0, A 0=0, 0 0=0.
A kvadrat matritsani o’zaro m marta ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan kvadrat matritsa A matritsaning m darajasi deyiladi va kabi yoziladi.
Uning uchun quyidagilar o’rinlidir:
1. = , 2. ( )^к = .
3. ( ^m= ^{m m}, 4. =E. 5. =0.
Berilgan n-tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa deb A^-1 bilan belgilanuvchi va AA^-1=A^-1A=E( E-n–tartibli birlik matritsa) shartni qanoatlantiruvchi n-tartibli kvadrat matritsaga aytiladi.
Berilgan A matritsaga teskari matritsa mavjud bo’lishi uchun uning determinanti nolga teng bo’lmasligi kerak.
Berilgan n-tartibli A kvadrat matritsaga teskari matritsa quyidagidek aniqlanadi.

Berilgan 3- tartibli A-kvadrat matritsaga teskari matritsa quyidagicha aniqlanadi:

Ikkinchi tartibli.

kvadrat matritsa uchun teskari matritsa quyidagicha aniqlanadi.

Bu yerda yozuv A matritsaning determinanti ekanligini bildiradi.
A matritsaga qarama – qarshi matritsa deb matritsaga aytiladi. Ya’ni,
A= bo’lsa, -A= bo’ladi.
B=( matrisa A=( matrisaning transponirlangani deyiladi, agar i va j indekslarning barcha mumkin bo’lgan qiymatlarida shart bajarilsa.
A matritsaning transponirlangani kabi belgilanadi. Agar A matritsa m x n tartibli bo’lsa, uning transponirlangan n x m tartibli bo’ladi.
Matritsani transponirlanganini topish transponirlash amali deyiladi.
Quyida A va matritsalar keltirilgan:
A= ,
Demak, A matritsaga transponirlangan matritsani topish uchun A matritsaning satrlarini mos ustunlari bilan almashtirish kerak ekan.
Har qanday matritsaning ixtiyoriy ravishda tanlangan k ta satr (k≤min (m,n)) va ustunlarning kesishmasida joylashgan elementlari dan tuzilgan k- tartibli determinant bu matritsaning k- tartibli minori deyiladi.
Berilgan A matritsaning rangi deb uning noldan farqli minorining eng katta tartibiga aytiladi.
Matritsaning rangi R(A) yoki r (A) bilan belgilanadi.
n ta , noma’lumli n ta chiziqli tenglamalardan iborat ushbu
sistemani qaraymiz.Bu sistemaning koeffitsientlaridan tuzilgan tartibli

matritsani hamda ozod hadlardan iborat ustun qo’shilgan tartibli kengaytirilgan
= ,
matritsalarni qaraymiz. Berilgan sistemaning yechimi yuqoridagi matritsalarning rangiga bog’liqdir.
Teorema (Kroneker Kapelli teoremasi). Berilgan sistema birgalikda bo’lishi uchun A matritsa va kengaytirilgan matritsalarning ranglari bir xil bo’lishi zarur va yetarlidir. Ya’ni, rang A=rang