Matrisa rangi

• 7-ma’ruza.
• Bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarini yechish. Fundamental yechimlar sistemasi.

Matrisa rangi

• (m x n) o’lchamli (to’rburchakli) matrisani qaraylik:

• Bu matrisadan ixtiyoriy k satr va k ustunda joylashgan elementlardaqn matrisa ajratib olamiz. А matrisaning ajratilgan satr va ustunlarida joylashgan elementlari k – tartibli determinantni hosil qiladi.

• А matrisaning k-tartibli Minori deb А matrisaning ixtiyoriy k ta satr va k ta ustundan joylashgan elementlaridan tuzilgan determinantga aytiladi.

Matrisa rangi

• Matrisa rangi deb bu matrisaning eng katta noldan farqli minorining tartibiga aytiladi.

• А matrisada 4 ta 3 – tartibli minor bor, masalan:

• 2 – tartibli 18 minor, masalan:

• 1 – tartibli minorlari 12 ta – bu matirsaning barcha elementlari.

• Bu matrisaning noldan farqli minorlarining eng katta tartibi 3 ga teng, shuning uchun:

• Misol 1.

Matrisa rangi

• Elementar (ekvivalent) almashtirishlar matrisa rangini o’zgartirmaydi. Shu sababli, matrisa rangi hisoblashda uni uchburchakli ko’rinishga keltiriladi. Asosiy elementar almashtirishlar:
• 1) faqat 0 lardan ibоrat satri (ustuni)ni o‘chirishdan;
• 2) ikkita satr (ustun)ning o‘rinlarini almashtirishdan;
• 3) birоr satr (ustun)ning elеmеntlarini birоr sоnga ko‘paytirib, bоshqa satr (ustun) mоs elеmеntlariga qo‘shish;
• 4) satr (ustun) barcha elementlarini noldan farqli biror songa ko’paytirish;z

• Matrisa rangi noldan farqli satrlari (ustunlari)ning soniga teng.

• Misol 2.

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish

• Kroniker-Kapelli teoremasi.

• Chiziqili algebraik tenglamalar sistemasi birgalikda (yechimga ega) bo’lishi uchun sistema koeffisientlaridan tuzilgan va kengaytirilgan matrisalar ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli:

• Agar (noma’lumlar soni), u holda sistema birgalikda va aniqlangan bo’ladi. (yagona yechimga ega).

• Agar , u holda sistema birgalikda va aniqlanmagan bo’ladi (cheksiz ko’p yechimga ega).

• Agar , u holda sistema birgalikda emas bo’ladi (yechimga ega emas).

• Umuman olganda, CHATSni yechishda matrisalar ranglarini hisoblash shart emas, Gauss usuli bilan yechishda rangini osonlikcha topish mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish

• Misol 3.

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish

• sistema birgalikda

• - noma’lumlar soni

• sistema aniqlanmagan

• - ozod o’zgaruvchilar (parametrlar) soni

• bo’lsin.

• Oxirgi sistemadan topamiz:

Chiziqli tenglamalar sistemasini tekshirish

• Sistema birgalikda emas

• Misol 4.

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Agar chiziqli tenglamalar sistemasining barcha ozod hadlari nolga teng bo’lsa, bunday sistemaga bir jinsli sistema deyiladi.

• Bir jinsli sistema har doim yechimga ega:

• Bu yechimga trivial yechim deyiladi. Bu yechim sistemaning yagona yechimi bo’ladi agar bo’lsa.

• Agar bo’lsa, u holda sistema cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi.

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• bo’lsin:

• U holda sistema r ta bazis o’zgaruvchilarga va n – r ta ozod o’zgaruvchilarga (parametrlarga) ega bo’ladi.

• Sistemaning umumiy yechimi ushbu ko’rinishda yoziladi:

• Parametrga bog’liq bazis o’zgaruvchilar

• Parametrlar yoki ozod o’zgarvuchilar

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Sistemaning quyidagicha umumiy yechimdan olingan n - r ta hususiy yechimlarini tanlab olamiz: faraz qilamiz ozod o’zgaruvchilarning qiymatlaridan bir 1 ga teng, qolganlari esa 0 ga teng:

• Bu yechim bir jinsli sistemaning fundamental yechimlar sistemasi hosil qiladi.

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Misol 5. Fundamental yechimlar sistemasini topamiz:

• - Ozod parametrlar soni

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• belgilash kiritamiz:

• Umimiy yechim

• F.YE.S (Ф.Е.С)

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Misol 6. (5,25. S): Fundamental yechimlar sistemasini topamiz:

• - Ozod parametrlar soni

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• belgilash kiritamiz:

• Umimiy yechim

• F.YE.S (Ф.Е.С)

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• Misol 7. Fundamental yechimlar sistemasini topamiz:

• - Ozod parametrlar soni

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

• belgilash kiritamiz:

• Umimiy yechim

• F.YE.S (Ф.Е.С)