Матрицанинг ранги. Матрицада элементар алмаштиришлар. Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси

Матрицанинг ранги.
Матрицада элементар алмаштиришлар. Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси.
Кронекер-Капелли теоремаси.
Тўғри бурчакли (хусусий ҳолда квадрат) А
матрица берилган бўлсин, унда бирор “ k ” та сатр
ва “ k ”та устунни ажратамиз. Бу сатрлар ва устун
ларнинг кесишмасида турган элементлар k-тартибли квадрат матрица ҳосил қилади. Унинг
детерминанти берилган матрицанинг k-тартибли
минори деб аталади. Масалан, ушбу
1. Матрицанинг ранги
(3.1)
матрица учун иккинчи тартибли минорларидан бири
бўлиб, у А матрицадан биринчи ва иккинчи
сатрларни ҳамда биринчи ва учинчи устунларни
ажратишдан ҳосил бўлган. Учинчи тартибли
минорларидан бири
Бу матрицанинг иккинчи тартибли минорлари 18 та, 4 та 3-тартибли минори мавжуд. Матрицанинг элементларини эса биринчи тартибли минорлар деб ҳисоблашимиз мумкин.
А матрицанинг барча минорлари орасида нолдан фарқли бўлганлари ҳам, нолга тенг бўлганлари ҳам бўлиши мумкин.
Агар А матрицанинг r - тартибли минорлари орасида камида битта нолдан фарқлиси мавжуд бўлиб, ундан юқори тартибли қолган барча минорлари нолга тенг бўлса, у ҳолда А матрица r рангга эга деб аталади ва бундай ёзилади:
.
.
Шундай қилиб, матрица ранги нолдан фарқли минорлариниг энг катта тартибидир.
(3.2)
Келтирилган мисолдаги матрицанинг ранги
rangА=3.
Матрица рангини бевосита ҳисоблашда кўп сондаги детерминантларни ҳисоблашга тўғри келади. Қуйида келтирилган қулойроқ усул матрицада элементар алмаштиришлар тушунчасига асосланган. Матрицадаги қуйидаги алмаштиришлар элементар алмаштиришлар деб аталади.
2. Матрицада элементар алмаштиришлар.
а) ноллардан иборат сатрни(устунни) ўчириш;
б) иккита параллел сатрнинг (устуннинг)
ўрларини алмаштириш;
в) бир сатр(устун)нинг барча элементларини бирор сонга кўпайтириб бошқа сатр (устун) нинг мос элементларига қўшиш;
г) сатр(устун)нинг барча элементларини бирор нолдан фарқли бир хил сонга кўпайтириш;
Бу элементар алмаштиришлар натижасида ҳосил бўлган матрицага берилган матрицага эквивалент матрица дейилади. Бунда матрицанинг ранги ўзгармайди.
1-Теорема. Матрицалар устида элементар алмаштиришлар натижасида унинг ранги узгармайди.
2-Теорема. Агар матрицанинг ранги r га тенг бўлса, у ҳолда унда r та чизиқли эркли сатр топилади, қолган барча сатрлар эса бу r та сатрнинг чизиқли комбинацияси бўлади.
Мисол.
Демак, rangА=2.

3. Чизиқли алгебраик тенгламалар системаси
Кронекер-Капелли теоремаси.
Қуйидаги n та номаълумли m та чизиқли тенгламалар системасини қараймиз.
дейиади.
Бу ерда - номалумлар, -коэффииентлар,
- (ихтиёрий ўзгармас сонлар) озод ҳадлар
Агар система камида битта ечимга эга бўлса, яъни номаълумлар учун шундай
(3.3)
қийматлар кўрсатиш мумкин бўлсаки, уларни системага қўйганда тенгламаларнинг ҳар бири айниятга айланса, у ҳолда система биргаликда дейилади.
Қуйида чизиқли тенгламалар системасининг биргаликда бўлиш аломатини келтирамиз. Бунинг учун система коэффициентларидан тузилган ушбу
(3.4)
матрицани ва А матрицадан унга озод ҳадлар устунини қўшиш билан ҳосил қилинган ушбу
матрицани қараймиз. А матрица (1) -системанинг асосий матрицаси, В матрица эса (1)-системанинг кенгайтирилган матрицаси дейилади. Бу матрицалар-нинг ранглари тенгсизлик билан боғланган бўлади.
(3.5)
1-теорема. (Кронекер-Капелли). (1)-чизиқли тенгламалар системаси биргаликда бўлиши учун асосий матрица билан кенгайтирилган матрицанинг ранги тенг, яъни бўлиши зарур ва етарли.
1) Агар бўлса, тенгламалар системаси биргаликда бўлмайди, яъни система ечимга эга эмас;
2) Агар бўлса (1)-тенгламалар системаси ягона ечимга эга;
3) Агар бўлса (1)-тенгламалар системаси чексиз кўп ечимга эга;
Агар тенгламалар системаси ечимга эга бўлса, бу система биргаликда дейилади. Агар бу ечимлар ягона бўлса, система аниқланган система дейилади
Энди бўлган системани қараймиз. Бу ҳолда системага бир жинсли чизиқли тенгламалар системаси дейилади. Ушбу бир жинсли
(3.6)
система доим биргаликда, чунки В матрица А матрицадан фақат элементлари ноллардан иборат устун билан фарқ қилади, яъни
,
Шу сабабли
А матрица билан В матрица тенг бўлиши учун (3.6)-тенгламалар системаси доим нолъ ечимга эга, яъни:
(3.7)
Бу ечимларга тривиал ечимлар дейилади. (3.6)-бир жинсли система қачон нолмас ечимга эга бўлиши ҳақидаги саволга ушбу теорема жавоб беради.
2-теорема. (3.3)-тенгламалар системаси нолдан фарқли ечимга эга бўлиши учун А матрицанинг
ранги номаълумлар сони (n) дан кичик бўлиши зарур ва етарлидир:
.
.
Натижа. Агар бир жинсли чизиқли тенгламалар системасининг тенгламалари сони m номаълум-лар сони n дан кичик бўлса, у ҳолда система нолмас ечимга эга бўлади.
Ҳақиқатдан ҳам,
1-мисол: Ушбу
система биргаликдами?
Ечиш: Ушбу
матрицанинг ранги 3 дан ортиқ бўлиши мумкин эмас. Уни элементар алмаштиришлар ёрдамида топамиз.
Ҳосил бўлган эквивалент матрицанинг ранги
, чунки
.
Демак, А матрицанинг ранги ҳам 3 га тенг:
Кенгайтирилган матрицанинг рангини ҳисоб-лаймиз:
Элементар алмаштиришлар бажарамиз:
Эквивалент матрица рангга эга, чунки
.
В матрицанинг ранги 4 га тенг:
Матрицаларнинг ранглари ҳар хил, демак, система биргаликда эмас. Система ечимга эга эмас.