Materiallar

1 
_   Adf(jc)
y = f ( x )
(8.1)
(8.2)
8.2.  E gilgan   o ‘qnin g  d ifferen sial  tenglam asi

---

E g rilik n i  v u ju d g a  k elish id a   k o 'n d a la n g   k u ch lam in g   t a ’siri  kam  
boMganligi  uchun,  ko'ndalang  egilishning  umumiy  holida  ham  yuqoridagi 
formuladan  foydalansa  bo'ladi.
Bu  yerda  r  (x)  -   balkaning  egrilik  radiusi;
M  (x)  -   egriligi  aniqlanayotgan  kesimdagi  eguvchi  moment;
EJ  -   balkaning  bikrligi.
Egilgan  o'q n in g   tenglam asini  tuzish  uchun  egri  chiziq  funksiyasi  va 
uning  egrilik  radiusi  orasidagi  matematik  bog'lanishdan  foydalanamiz:
Egrilikni  yuqoridagi  qiymatini  o 'z   o 'm ig a  qo'ysak,  x,  у,  M  (x)  va  EJ  ni 
o'zaro  bog'laydigan  differensial  tenglama  kelib  chiqadi:
Mazkur  tenglama  egilgan  o 'qning  aniq  differensial  tenglam asi  deb  ata­
ladi.  Bu  tenglama  ikkinchi  tartibli  chiziqsiz  differensial  tenglama  boMganligi 
uchun,  uni  integrallash  ancha  mehnat  talab  qiladi.  Aksariyat  amaliy  masala- 
larda  solqiliklar  kichik  qiymatlarga  ega  boMganligi  sababli,  (8.5)  tenglamani 
kichik  ko'chishlar  uchun  taqribiy  tenglama  bilan  almashtiramiz.
(8.5)  tenglam aning  maxraji  ikki  qo'shiluvchidan  iborat:
Uncha  katta  boMmagan  defonnatsiyalarda  ikkinchi  qo'shiluvchi  birinchi 
qo'shiluvchiga nisbatan ko'p  marotaba kichik bo'ladi.  Mashinasozlik,  samolyot- 
sozlik  va  binokorlik  elementlarida  ruxsat  etilgan  solqilik  miqdori  balka  uzun- 
ligining  1/100  -   1/1000  ulushi  qadar  belgilanadi.  Solqilikning  eng  katta  che­
garasi  1/100  ni  olgan  taqdirimizda ham  q  ning qiymati juda kichik  son  bo'ladi:
d x 2
(8.4)
M { x ) _ ± 
d x 2
E J
(8.5)
y d x )

---

Uning  kvadrati  esa  yanada  kichikroq  boMadi:  tgJq  =  0,0004.  Bu  raqam 
esa  I  dan  ancha  kichkina.  Shuning  uchun  bu  miqdomi  e ’tibordan  chetda 
qoldirsak  uncha  katta  xato  boMmaydi.  N atijada  balka  egilgan  о ‘q in in g  
taqribiy  differensial  tenglamasiga  ega  boMamiz:
d x2
E J
(8.6)
Bu  tenglamani  ba’zan  elastik  chiziqning  differensial  tenglamasi  deb  ham 
ataladi.  (8.6)  formula  balkaning  istalgan  kesimidagi  ko‘chishlarni  aniqlash 
imkonini  beradi.
Eguvchi  m om entlam ing  ishoralari  koordinata  o ‘qlarining  y o ‘nalishiga 
bogMiq  emas.  Egilgan  o ‘qning  botiqligi  у   o ‘qining  musbat  tom oniga  qara- 
gan  boMsa,  ikkinchi  tartibli  hosilaning  ishorasi  musbat  boMadi;  buning  teska- 
risi  boMsa  -   ishora  manfiy  olinadi  (8.2-rasm).
Y±
d \y
dx2
>0
d x
2
->X
<0
8.2-rasm.
Agar у  o ‘qi yuqoriga yo‘nalsa (8.6) formula (+)  ishora bilan,  pastga yo‘nalsa 
( - )   ishora  bilan  olinadi.  Bundan  buyon  у   o ‘qini  ham m a  vaqt  yuqoriga 
yo‘na!tiramiz  va  differensial  tenglamani  musbat  ishorali  deb  qabul  qilamiz.
Burilish  burchagi  0  (x)  va  solqilik  у  (x)  ni  aniqlash  uchun  (8.6)  ni  ket- 
ma-ket  integrallaymiz.  Bir  marta  integrallasak,  burilish  burchagi  0  (x)  ni 
aniqlaydigan  ifoda  kelib  chiqadi:
d x + C
(8.7)
d x 
J 
E J
Ikkinchi  m arta  integrallasak,  solqilik  у  (x)  ni  aniqlaydigan  ifodaga  ega 
boMamiz:
M { x )
y { x ) = l d x \ ^ - d x  + C x + D .
(8.8)
Tenglam alar  tarkibiga kirgan  ixtiyoriy  o ‘zgarmas  sonlar С  va  D  tayanch- 
larning  xiliga qarab  aniqlanadi.  Bulami  aniqlash  tartibi  quyida  misollar orqali 
tushuntirib  beriladi.

---