Matematikali’q statistika elementleri

Gistogramma

Olshewler sani ju’da u’lken bolg’anda joqaridag’i jiyilikler tablitsasin du’ziw qiyin, sebebi tablitsag’a jaylastirilg’an statistikaliq materiallardi ko‘zden keshiriw quramali bolip qaladi. Sonin’ ushin a’piwayi statistikaliq qatarda gruppalaw (gruppalarg’a ajiratiw) orinlanadi. Bunin’ ushin ₀, ₁, ₂, . . . _k-1, _k, . . . _n qatardi (X – tin’ ma’nislerin) (₀, ₁), (₁, ₂), (₂, ₃), . . . (_n-1, _n) intervallarg’a ajiratamiz ha’m X shamanin’ (_k-1, _k) intervalg’a tuwri keletug’in ma’nislerinin’ sanin m_k menen belgileymiz. Intervaldin’ ushlarina tuwri keletug’in sanlardi shep yamasa on’ intervalg’a kiritiledi.

Usi

san (_k-1, _k) intervalg’a saykes bolg’an salistirmali jiyilik boladi. Bunda

Bunday jag’dayda emprik nizam to’mendegishe tablitsa ko‘rinisinde boladi:

intervallar	(a0, a1)	(a1, a2)	. . . .	(ak-1, ak)	. . . .	(an-1, an)
mk	m1	m2	. . . .	mk	. . . .	mn
			. . . .		. . . .

Sonin’ ushin gruppalar (gruppalarg’a ajiratiw esaplanadi). Kesindileri (x_i, p_i^*) noqatlarin tutastiratug’in siniq shiziq jiyilikler poligon delinedi.

Kesinduler ( ) noqatlarin tutastiratug’in siniq shiziq salistirmali jiyilikler poligoni delinedi.

Joqarida aytilg’an gruppalarg’a ajiratiwdi geometrikaliq su’wretlew mumkin. Bul to’mendegishe orinlanadi. Ox ko’sherinde a₀, a₁, a₂, . . ., a_k . . ., a_n noqatlarin belgileymiz. [a_k-1, a_k] kesindini tiykar qilip maydani g’a ten’ bolg’an tuwri to‘rtmu’yeshlik jasaymiz. Payda etilgen figura gistogramma dep ataladi.

Statistikaliq materialdin’ bunnan keyingi qayta isleniwi to’mendegishe a’melge asiriladi. (a_k-1, a_k) intervallar ortalarin menen belgilenedi ha’mde bul ma’nisti o‘lshew na’tiyjesinin’ ma’nisi dep esaplanadi ha’m ol m_k ese ta’kirarlanadi. Onda emprikaliq nizamdi an’latiwshi tablitsa to’mendegishe boladi:

			. . . .		. . . .
mk	m1	m2	. . . .	mk	. . . .	mn
			. . . .		. . . .

1-mi’sal. Tаn’lаnbа

xi	2	5	7	9
ki	1	2	3	4

jiyilikler bo’listiriliwi (tablitsa) ko’rinisinde berilgen. Salistirmali jiyilikler bo’listiriliwin tabin’.

Sheshiliwi. Bizlerdin’ jag’dayda tаn'lаnbanin’ ko’lemi n=1+2+3+4=10. Salistirmali jiyiliklerin tabamiz: P_i^*= (n-o’tkizilgen tа’jireybeler sani, k_i bolsa Х=_i waqiya ju’z bеrgen tа’jireybeler sani) fоrmulаg’а tiykarlanip:

P₁^*= , P₂^*= =0,2, P₃^*= =0,3, P₄^*= =0,4

Bulаrg’а tiykarlanip izlenip atirg’an salistirmali jiyilikler bo’listiriliwin jazamiz:

xi	2	5	7	9
ki	0,1	0,2	0,3	0,4

Tеkseriw: 0,1+0,2+0,3+0,4=1.

2- mi’sal. 8 tаjireybe nаtiyjesinde Х ushin to’mendegi ma’nisler aling’аn bolsin

Tаjireybe nоmеri	1	2	3	4	5	6	7	8
Х tin’ ma’nisleri	0.1	0,3	0,1	0,3	0,2	0,3	0,3	0,2

Vаriаtsiоn qаtar: 0,1; 0,2; 0,3 sanlаrdаn du’ziledi, olаrg’а saykes salistirmali jiyilikler to'mendegishe du’ziledi:

Nа’tiyjede to’mendegi tablitsa payda boladi:

xi	0,1	0,2	0,3
Pi^*

Tеkseriw:

1-mısal. Sebette 10 dana alma hàm 20 dana shabdalı bar, bolsa 1 dana miyweni neshe túrli usıl menen tańlaw múmkin.

Sheshiliwi: 1 dana miyweni 10+20=30 usıl menen tańlaw múmkin

2-mısal. X={1,2,3,4}, Y={a,b,c,d,e} kòplikler berilgen =?

Sheshiliwi: n (x)=4. n(Y)=5 bolģanı ushın n(XxY)=4+5=9.

3-mısal. X={2,4,6,8}, y={2,5,7,9} kòplikler berilgen. n (XxY)=?

Sheshiliwi: n(x)=4, n(y)=4

Biraq 2 sanı har eki kòplikte de qatnasadı, demek =1 (2) formulaģa kòre =4+4-1=7.

4 – mısal. 30 talabadan 25 si matematikadan juwmaqlawshı jazbadan, 23 i ekonomika juwmaqlawshı jazbadan òtti. 3 talaba eki pàn boyınsha juwmaqlawshı jazbadan òte almadı. Neshe qarızdar talaba bar?

Sheshiliwi: A haribi menen matematika juwmaqlawshı teoriyadan òtpegen talabalar kòpligin, B menen ekonomika pàninen juwmaqlawshı teoriyadan òtpegen talabalar kòpligin belgileymiz. Onda n(A)=30–25=5, n(B)=30-23=7 n( )=3, n( )=5+7-3=9. Demek, 9 qarızdar talaba bar.

Bizge màlim kòbeyme nızamı n(AXB)=n(A) (3) kòriniste jazıladı. Kòbeyme anıqlamasına tiyisli kombinatorika màselesi tòmendegi kòriniste boladı.

“Eger X elementin m usıl, Y elementin n usıl menen tańlaw múmkin bolsa, (x;y) tàrtiplengen juplıqtı usıl menen tańlaw múmkin”

5-mısal. A awıldan B awılģa 5 túrli jol alıp baradı, B awıldan C awılģa bolsa 2 jol alıp baradı. A awıldan C awılģa B awıl arqalı neshe túrli usıl menen barsa boladı?

Sheshiliwi: A dan C ģa (1,a)(_1,b), (2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),(5,a),(5,b) juplıqlar arqalı berilgen baģıtlarda barıw múmkin. Bunda joldıń birinshi bòlegi 5 túrli usıl menen, 2 – bòlegi 2 túrli usıl menen basıp òtiledi.

X={1,2,3,4,5,}, Y-{a,b}. dep alsaq,

XxY={(1,a),(2,a),(3,a),(4,a),(5,a), (1;b),(2;b),(3;b),(4;b),(5;b)}-dekart kòbeyme payda boladı. Bunda n( bolģanı ushın A dan C ģa 10 usıl menen barıw múmkinshiligi kelip shıģadı.

6 - mısal. Neshe túrli sanlar menen jazılģan eki xanalı sanlar bar?

Sheshiliwi: Birinshi sandı 9 usıl menen ekinshi sandı da 9 usıl menen tańlaw múmkin. Anıqlamaģa tiykarlanıp hàmmesi bolıp eki xanalı san bar. Bunda 0 den baslap onlıqlar sanınan basqa sanlar nàzerde tutıladı.

7-mısal. 4 elementli X={a,b,s,d} kòplikten neshe uzınlıģı 2 ge teń kortejler dúziw múmkin.

Sheshiliwi: . Demek, 16 kortejler dúziw múmkin. Bul kortejler tòmendegilerden ibarat:

(a;a), (a;b), (a;c), (a;d)

(b;a), (b;b), (b;c), (b;d)

(c;a), (c;b), (c;c), (c;d)

(d;a), (d;b), (d;c), (d;d)

8 - mısal. 3 elementli x={1,2,3} kòplik elementlerinen uzınlıģı ekige teń bolģan neshe kortej dúziw múmkin.

Sheshiliwi: ta kortej dúziw múmkin. Olar.

(1;1) (1;2), (1;3)

(2;1) (2;2), (2;3)

(3;1) (3;2);(3;3)

9 - mısal. 6 xanalı barlıq telefon nomerler sanın tabıń.

Sheshiliwi: Telefon nomerler 0 den 9 ģa shekem bolģan on sanlardan dúzilgeni ushın 10 elementten dúzilgen barlıq tàrtiplengen uzınlıģı 6 ģa teń bolģan kortejlar sanın tabamız:

10-mısal. 12 miymandı 12 stolģa neshe túrli usıl menen otırģızıw múmkin.

Sheshiliwi: Bul 12 elementten tàkirarlanbaytuģın orın almastırıwlar sanın tabıw màselesi bolıp

=12! = ge teń.

Demek, 12! Usıl menen miymanlardı otırģızıw múmkin.

11 - mısal. 5 talabanı 5 stolģa neshe túrli usıl menen otırģızıw múmkin?

Sheshiliwi: Màsele 5 elementten 5 ewden tàkirarlanbaytuģın orın almastırıwlar sanın tabıwģa keltiriledi. P₅=5!=

Demek, olardı 120 túrli usıl menen otırģızıw múmkin

12-mısal. Auditoriyadaģı 30 talabadan 3 wi aktiv talabanı neshe túrli usıl menen tańlaw múmkin.

Sheshiliwi: usıl menen tańlaw múmkin.

13- mısal. Topardaģı 25 talabadan tańlawģa qatnasıw ushın 2 talabanı neshe túrli usıl menen tańlaw múmkin.

Sheshiliwi: usıl menen tańlaw múmkin.

14- mısal. 8 adamnan sardar, aspaz, chayxanashı hàm nàwbechilerden ibarat.

4 adamdı tańlaw kerek. Bunı neshe túrli usılda àmelge asırıw múmkin?

Sheshiliwi: Bul màsele 8 adamnan 4 ewden tàkirarlanbaytuģın orınlastırıwlar sanın tabıwģa keltiriledi. Demek, usıl menen 4 adamdı tańlaw múmkin.

15-mısal. Topardaģı 30 talabanı kòrikten òtkeriw ushın 5 talabanı neshe túrli usıl menen tańlaw múmkin?

Sheshiliwi: Kòrik qatnasıwshılarınıń tàrtibi àhmiyetke iye bolmaģanı ushın 30 elementli kòpliktiń 5 elementli úles kòplikler sanı neshew ekenin tabamız:

Demek, 5 talabanı 144306. usıl menen tańlaw múmkin.

16 - mısal. Kursdaģı 20 talabadan konkursģa qatnasıw ushın 5 talabanı neshe túrli usılda tańlaw múmkin?

Sheshiliwi: Konkurs qatnasıwshılarınıń tartibi àhmiyetke iye bolmaģanı ushın 20 elementli kòpliktiń 5 elementli úles kòplikleri sanı neshew ekenligin tabamız:

Demek, 5 talabanı 10704 usıl menen tańlaw múmkin eken.

17 - mısal. 6 hàr túrli reńli qàlemnen 4 túrli reńli qàlemdi neshe túrli usıl menen tańlaw múmkin.

Sheshiliwi: túrli usıl menen tańlaw múmkin.

Endi shekli X kòpliktiń úles kòplikleri sanın tabıw haqqındaģı màseleni qaraymız. Onı sheshiw ushın qàlegen x kòplikti tàrtipleymiz. Soń hàr bir úles kòplikti m uzınlıqtaģı kortej sıpatında shifrlaymız: úles kòplikke kirgen element ornına 1, kirmegen element ornına 0 jazamız. Màselen, eger X={x₁;x₂;x₃;x₄;x₅} bolsa, onda (0;1;1;0;1) kortej {x₂,x₃,x₅} úles kòpligin shifrlaydı, (0;0;0;0;0) kortej bolsa bos kòplik, (1;1;1;1;1) kortej bolsa X kòpliktiń òzin shifrlaydı. Sonda úles kòplikler sanı eki {0;1} elementden dúzilgen barlıq m uzınlıqtaģı kortejler sanına teń boladı: .

18-mısal. X={a;b;c;} kòpliktiń barlıq úles kòpliklerin jazıń, olar qansha boladı.

Sheshiliwi: , {a}, {b}, {c}, {a;b}, {a;c}, {b;c}, {a;b;c} lar X kòpliktiń barlıq úles kòplikleri bolıp olardıń sanı 2³=8ge teń.

19-mısal. Tengeni taslaw tàjiriybesin qaraymız. A waqıya gerbli tàrepiniń túsiwi bolsın. P(A) nı anıqlań.

Sheshiliwi. Tenge bir tekli hàm deformaciyalanbaģan bolsa tenge taslawdıń kòp seriyasında gerbli hàm sanlı tàrepleriniń túsiwi ortasha birdey tàkirarlanadı. Bunnan kòrinedi, A waqıyanıń júz beriwiniń salıstırmalı jiyilikleri  dıń mànisleri san dògereginde aylanadı. Demek, P(A)= boladı.

20-mısal. Yashikde 20 shar jatırıptı: 8 aq, 12 qara. Yashıkten tàwekelge bir shar alındı. Onıń qara shar bolıwı itimallıģı nege teń?

Sheshiliwi. Tàjiriybe júda kòp màrte tàkirarlansa sharlardıń teń imkaniyatlı ekenligin nàzerge alsaq qara shardıń shıģıw salıstırmalı jiyiligi shama menen yashiktegi sharlar ishinde qara sharlar dúzetuģın waqıyaģa teń dep esaplansa boladı, yaģnıy = . Demek, P(A)= .

21-mısal. 2000 lotorеiya bileti satılģan. Bunda 1 biletke 100000 som, 4 biletke 50000 som, 10 biletke 20000 som, 20 biletke 10000 som, 165 biletke 5000 som, 400 biletke 1000 somnan utıs shıģıwı belgilengen qalģan biletler utıssız. Bir biletke 10000 somnan kem bolmaģan utıs shıģıw itimallıģı qanday?

Sheshiliwi. Bul jerde m=1+4+10+20=35, n=2000 sebebi, 35 biletke 10000 somnan joqarı utıslar belgilengen.

Sonıń ushın, .

22-mısal. Yashikte 6 aq hàm 4 qara shar jatırıptı. A waqıya yashıkten tawekelge alınģan 5 shardıń 3 wi aq hàm 2 ı qara shar bolıwınan ıbarat. Bul waqıyanıń itimallıģı nege teń?

Sheshiliwi. Sharlardıń ulıwma sanı 10 ģa teń. Sonıń ushın barlıq múmkın bolģan jaģdaylar sanı ; 3 aq shardı usıl menen; 2 qara shardı usıl menen alıw múmkin. Sharlardı tańlawdıń bul eki usılın birlestirip 3 aq hàm 2 qara shar tańlaw ushın qolaylıq tuwdırıwshı jaģdaylar sanı m=m₁m₂=120 teńligin tabamız. Demek, .

23-mısal. Oyın zarigi eki màrte taslanadı. Ekı ret taslanģanda da túsken ochkolar qosındısı 8 teń bolıw itimallıģın tabıń.

Sheshiliwi. Birinshi taslanģanda i ochkonıń, ekinshi taslanģanda bolsa j ochkonıń túsiwin A_ij arqalı belgileymiz. Ol jaģdayda

Kòrinistegi 36 túrli waqıyanı oyın zarigin eki màrte taslawdan ibarat tàjiriybeniń elementar nàtiyjeleri sıpatında qaraw múmkin. Túsken ochkolar qosındısı 8 ge teń (A waqıya) bolıwına qolaylıq tuwdırıwshı nàtiyjeler A₁₇, A₂₆, A₃₅, A₄₄ dan ibarat. Demek, m=4, n=36 bolıp, boladı.

24-mısal. 21 standart hàm 10 standart emes detal salınģan Yashikti tasiw waqtında bir detal joytılģan, biraq qanday detal joytılģanı belgili emes. Yashikti tasıwdan keyin tawekelge alınģan detal standart detal bolıp shıqtı. Standart detal joytılģan bolıwı (A waqıya) itimallıģın tabıń.

Sheshiliwi. Alınģan standart detal joytılmaģanı anıq. Qalģan 21+10-1=30 detaldıń qàlegen bırewi joytılģan bolıwı múmkin, sonıń menen birge olardıń arasında 21-1=20 ta detal standart esaplanadı. Standart detal joytılģan bolıwı itimallıģı ge teń.

25-mısal. Sanları hàr túrli eki xanalı san oylanģan. Oylanģan san tosınnan aytılģan raqamları hàr túrli eki xanalı san bolıw itimallıģın tabıń.

Sheshiliwi. 10 nan 99 ģa shekem sanlar eki xanalı. Raqamları birdey eki xanalı sanlar 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 lar bolıp, olar 9. 10 nan 99 ģa shekem 90 ta san bar. Raqamları hàr qıylı eki xanalı sanlar 90-9=81 . Demek, boladı.

26mısal. Texnikalıq baqlaw bòlımi tawekelge ajıratıp alınģan 100 kitaptan ibarat partiyada 5 jaramsız kitap tabıldı. Jaramsız kitaplar shıģıwınıń salıstırmalı jiyiligin tabıń.

Sheshiliwi. Jaramsız kitaplar shıģıwın A waqıya bolsın. A waqıya salıstırmalı jiyiligi A waqıyanıń júz bergen sınawlar sanınıń òtkerilgen sınawlar jàmi sanına qatnasına teń: .

27-mısal. Eki oyın zarigi taslanģan. Zariklerdiń jaqlarında túsken ochkolar qosındısı 7 ge teń bolıw itimallıģın tabıń.

Sheshiliwi. A- waqıya ochkolar sanı qosındısı 7 ge teń jaģdaylar sanı 6 boladı:

1

6,

6

1,

2

5,

5

2,

3

4,

4

3

Demek, .

28-mısal. Tenge eki màrte taslanģan. Hesh bolmaģanda bir màrte «gerbli» tàrep túsiwiniń itimallıģın tabıń.

Sheshiliwi. Birinshi taslanģanda «gerb» túsiw itimallıģı A₁ bolsın. Bunda tòmendegi jaģdaylar gúzetiledi:

1) 2) 3) 4)

, , ,

Kòrinip turıptı, tòrt tàjireybede «gerb» tàrepiniń hesh bolmaģanda túsiwi úsh jaģdayda gúzetiledi. Demek, hesh bolmaģanda bir màrte «gerbli» tàrep túsiwi (A waqıya) itimallıģı .

29-mısal. Yashikte 12 shar jatırıptı: 3 aq, 4 qara hàm 5 qızıl sharlar. Tawekelge bir shar alındı. Onıń qara shar shıģıwı (A waqıya) itimallıģı qanday?

Sheshiliwi. Bul jerde m=4, n=12, .

30-mısal. Yashikte 10 shar bar: 6 aq hàm 4 qara. Tawekelge 2 shar alındı. Eki shardıńda aq bolıwı (A waqıya) itimallıģı qanday?

Sheshiliwi. Bul màselede múmkin bolģan barlıq jaģdaylar sanı ta. A waqıyaģa qolaylıq tuwdırıwshı jaģdaylar sanı bolsa . Demek, .

31-mısal. Karton kartochkalarģa A, A, L, M hàripler jazılģan. Kartochkalar aralastırılıp, bir qatar qılıp terildi. ALMA sòziniń kelip shıģıwı (A waqıya) itimallıģı qanday?

Sheshiliwi. Tòrt kartochkanı hàr túrli jaylastırıw bir-birinen olardıń tàrtibi menen parq etedi. Múmkin bolģan barlıq jaģdaylar sanı n 4 elementten orın almastırıwlar sanına teń: n=p₄=4!=24. Bul jaģdaylar «teń huquqlı», birgelikte bolmaģan hàm birdey teń imkaniyatlı. ALMA sòziniń kelip shıģıwına qolaylıq tuwdırıwshı jaģdaylar sanı m birge teń. Demek, .