Matematikadan o’quv-uslubiy majmua

9-teorema. Agar: 1) va nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lsaki, bu atrofdan olingan barcha lar uchun bo‘lsa, 2) nuqta to‘plamning limit nuqtasi va bo‘lsa, u holda da murakkab funksiya limitga ega va bo‘ladi.
Yuqorida keltirilgan teoremalar da ham o‘rinli bo‘ladi.
Misollar
1. ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun son olamiz. sonini shunday tanlaymizki da bo‘lsin. U holda

bo‘ladi.
Bundan Agar deb olsak, da bo‘ladi.
Demak,
.
2. limitni topamiz. Bu limit uchun ikki funkksiya bo‘linmasining limiti haqidagi teoremani qo‘llab bo‘lmaydi, chunki da kasrning maxraji nolga teng bo‘ladi. Bundan tashqari suratning limiti nolga teng. Bunday hollarda ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan deyiladi. Bu aniqmaslikni ochish uchun kasrning surati va maxrajini ko‘paytuvchilarga ajratamiz va kasrni ( , lekin ga bo‘lib, topamiz:

3. limitni topamiz. da ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. Kasrning surat va maxrajini yuqori darajasiga, ya’ni ga bo‘lib, topamiz:



Ajoyib limitlar
Birinchi ajoyib limit : .
Isboti. bo‘lsin.
Radiusi ga teng bo‘lgan aylananing radian o‘lchovi ga teng bo‘lgan markaziy burchagiga mos yoyini qaraymiz (2-shakl).
Shakldan quyidagilarga ega bo‘lamiz:


Bundan kelib chiqadi. Tengsizlikni ga bo‘lamiz:
yoki .
Endi bo‘lsin.
, ekanidan da ham
.
, dan 6-teoremaga ko‘ra
.
Misol
limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan. Almashtirishlar bajaramiz:

da va ajoyib limitga ko‘ra
Demak,

Ikkinchi ajoyib limit³ :
Isboti. Ma’lumki, .
bo‘lsin. deb olamiz. U holda , bu yerda
tengsizlikdan topamiz:
yoki
.
da . U holda

.
Bundan 6-teoremaga ko‘ra

kelib chiqadi.
Endi bo‘lsin. deb olamiz.
U holda

Demak,
.
Misol
limitni topamiz. Bunda da ko‘rinishdagi aniqmaslik berilgan.
Qavs ichidagi kasrning butun qismini ajratib, almashtirishlar bajaramiz:
.
da bo‘lgani sababli 2-ajoyib limitni qo‘llab, topamiz:

ekanidan .
4. lmitni topamiz. Buning uchun belgilash kiritamiz. Bunda da U holda