"Matematika" yo’nalishi 2-kurs 19

Davriy bo’lmagan funksiya holi. Yuqorida bayon qilingan tarzda tuzilgan nazariyada berilgan funksiya barcha haqiqiy x lar uchun aniqlangan va davrga ega deb faraz qilingan edi. Ayni vaqtda, ko’pincha, davriy bo’lmagan, hatto ba’zan faqat oraliqdagina berilgan, funksiyalar bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi.
Ana shunday funksiyaga bayon etilgan nazariyani qo’llay olishimiz uchun ushbu yordamchi funksiyani quyidagicha kiritamiz: oraliqda ni aynan ga teng ya’ni
(12)
deb, nuqtada deb olamiz, x ning qolgan barcha haqiqiy qiymatlariga ni davriylik qonuni bo’yicha tarqatamiz.
Shu tarzda qurilgan bu davrli funksiya uchun endi yuqorida isbotlangan yoyish teoremasini qo’llash mumkin. Ammo, agar x₀ nuqta oraliqning qat’iy ichki nuqtasi bo’lsa, (12) tenglikka ko’ra biz bevosita funksiyaning yoyilmasini topgan bo’lar edik. Shu sababli, yoyilma koeffitsiyentlarini ham ga o’tmay, (1) formula yordamida hisoblash mumkin. Qisqasi, bu holda yuqorida isbot qilingan faktlar yordamchi funksiyasiz ham bevosita berilgan funksiya uchun o’rinlidir.
Biroq oraliqning chekka nuqtalari larga alohida e’tibor qilish kerak. Yordamchi funksiyaga yuqoridagi teoremani, masalan nuqtada qo’llasak, bizga funksiyaning nuqtaning chap tomonidagi (bu nuqtalarda va o’ng tomondagi bu nuqtalardagi ning qiymatlari ning dan o’ngdagi qiymatlariga teng bo’ladi) qiymatlari bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi. Shuning uchun nuqtalarda S₀ ning qiymati sifatida

olinishi kerak. Shunday qilib agar funksiyaning davri bo’lmasa, ya’ni bo’lsa, bu funksiya da uzluksiz bo’lsa ham, uning Furye qatorining shu nuqtadagi qiymati (agar bo’lakli differensiallanish sharti bajarilgan bo’lsa) songa teng bo’ladi va, demak, dan ham, dan ham farqli bo’ladi. Bunday funksiya uchun yoyilma ochiq oraliqdagina o’rinli bo’lishi mumkin.
Agar (2) trigonometrik qator oraliqda funksiyaga yaqinlashsa, u hamma yerda yaqinlashuvchi bo’ladi, chunki uning hadlari davri bo’lgan funksiyalardir. Uning yig’indisi ham x ning davrli funksiyasi bo’ladi. Lekin bu yig’indi keltirilgan oraliqdagi boshqa nuqtalarda, umuman, ga teng bo’lmaydi (agar butun haqiqiy o’qda berilgan bo’lsa).
Nihoyat, shuni ham aytish kerakki, oraliq o’rnida uzunlikdagi ixtiyoriy oraliq ham olinishi mumkin edi.