"Matematika va informatika" bakalavriat ta’lim yo’nalishi

Ko‘phadlar haqida umumiy tushuncha.


Faraz qilaylik, bizga . . maydon berilgan bo‘lsin. Har qanday son qiymatlarni qabul qiluvchi o‘zgaruvchi(noma’lum)ni bilan belgilab quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lgan ifodalarni hosil qilaylik:
(1)
Bu ifodada sonlar maydonning elementlaridan iborat bo‘lsa, ifodaning o’zi maydon ustida berilgan ko‘phad deyiladi.Bunda manfiy bo‘lmagan butun sonlar bo‘lib, Ko‘phadning hadlari, Ko‘phadning bosh hadi, esa ko‘phadning ozod hadi deyiladi, Ko‘phadning koeffitsientlari, esa bosh koeffitsient deyiladi. (1) ko‘phad ning kamayib boruvchi darajalari tartibida yozilgan. ko‘phadni ning ortib boruvchi darajalari tartibida ham yozish mumkin:
(2)
Bu so’ngi ko‘phadda ozod hadva bosh koeffitsientdir. (1) ko‘phadda yoki (2) ko‘phadda holda, ko‘phad darajali ko‘phad deb ataladi. Demak, darajali (1) ko‘phad berilgan bo‘lsa, albatta , lekin qolgan koeffitsientlardan ba’zilar yoki barchasi nol bo‘lishi mumkin ekan. Misol ushun:

ratsional sonlar maydonidagi 5-darajali ko‘phad. Shuningdek,

haqiqiy sonlar maydonidagi 6-darajali ko‘phad,

esa kompleks sonlar maydonidagi 4-darajali ko‘phaddir.
Eslatma! Koeffitsientlari sonlardan iborat har bir ko‘phad, eng oxirgi natijada, kompleks sonlar maydonidagi ko‘phadni ifodalaydi, chunki kompleks sonlar maydoni o’z ichiga hamma sonlarni oladi.
Ko‘phadlarni qisqacha qilib , va boshqa shunga o’xshash shakllarda belgilaymiz.
1-ta’rif. Hamma koeffitsientlari nolga teng bo‘lgan ko‘phadni nol ko‘phad deyiladi. Demak, bunday ko‘phad o‘zgaruvchining har qanday qiymatida nolga teng:
.
Agar koeffitsientlarda aqalli bittasi nolga teng bo‘lmasa, ko‘phad nolmas ko‘phad deyiladi. Shuni ta’kidlash joizki n-darajali nolmas ko‘phad ning ba’zi qiymatlaridagina nolga teng bo‘lib, qolgan qiymatlarning hammasida noldan farqli bo‘lishi ham mumkin(masalan, ko‘phad va qiymatlarda nolga teng bo‘ladi).
Agar va bo‘lsa, ko‘phad ko‘rinishni oladi va nolinchi darajali ko‘phad deb ataladi. Demak, maydondagi nolinchi darajali ko‘phad - shu maydonning noldan farqli elementlaridan iborat bo‘ladi.


Ko‘phadlarning asosiy xossalari.


maydondagi ikki ko‘phadning algebraik tengligi va tengsizlik tushunchasiga to’xtalaylik.
2-ta’rif. maydondagi ikki bir xil darajali:

va

berilib, ko‘phadlarning moskoeffitsientlari teng, ya’ni

bo‘lgan dagina bu ikki ko‘phad o’zaro bir biriga teng deyiladi.
Ko‘phadlarningtengligi ko‘rinishidayoziladi.
Shuni aytish joizki, bo‘lganligi uchun o’zaro teng ko‘phadlar bir-biridan faqat koeffitsientlari 0 ga teng bo‘lgan hadlari bilan farq qila oladi. Masalan, ratsional sonlar maydonidagi:

va

Ko‘phadlar o’zaro tengdir.
Agar Ko‘phadning aqalli bitta koeffitsienti Ko‘phadning moshadikoeffitsientiga teng bo‘lmasa, bu ko‘phadlar teng emas hisoblanadi. Masalan, ratsional sonlar maydonidagi:

va

Ko‘phadlar teng emas.
Ko‘phadlarning tengsizligi odatda shaklda yoziladi.
Elementar algebradan ma’lum qoidalar bo’yicha maydondagi ko‘phadlarni qo’shish, ayirish va ko‘paytirish mumkin. Buning natijasida yana maydondagi ko‘phadlar hosil bo‘ladi, chunki aytilgan amallarni bajarishda, biz ko‘phadlarning koeffitsientlarini, yani maydon elementlarini qo’shamiz, ayiramiz va ko‘paytiramiz vas hu sababli, vujudga keluvchi ko‘phadlarning koeffitsientlari sifatida yana maydon elementlarini hosil qilamiz.
Ko‘phadlarning yig’indisining darajasi – eng katta darajali qo’shiluvchi ko‘phad darjasidan katta emas, ko‘phadlar ko‘paytmasining darajasi – ko‘paytiriluvchi hadlar darajalarining yig’indisiga teng.
Elementar algebradan ma’lum qoidaga muvofiq ko‘phadni nolmas ko‘phadga bo‘lish ham mumkin. Bo‘lish qoldiqli yoki qoldiqsiz bo‘lishi mumkin. Bunda bo‘linma va qoldiq ham yana
maydondagi ko‘phadlarni ifodalaydi.


Ko‘phadlar va ular ustida amallar.
Biz bu bobda algebra fani uchun muhim ahamiyatga ega bo‘lgan ko‘phadlar tushunchasi bilan shug’ullanamiz. Faraz qilaylik, bizga birlik elementga ega bo‘lgan biror butunlik sohasi berilgan bo‘lsin.