Matematika va fizika tenglamalari fanidan tayyorlgan

5. Moddiy nuqtaning og’irlik kuchi ta’siridagi harakati. Dekart ortogonal koordinatlari bo’lgan vertikal tekislikda moddiy nuqta og’irlik (yerga tortilish) kuchi ta’sirida holatdan holatga harakat qilayotgan bo’lib, yo’ldagi vaqt balandlikni o’lchovchi koordinataning funksiyasi bo’lsin, ya’ni nuqta harakatining trayektoriyasini topish talab qilinadi.

Bu masala tautoxron to’g’risidagi masala deyiladi. Ma’lumki, nuqta tezlik vektori modulining kvadrati uchun

(66)

tenglik o’rinlidir, bu yerda - og’irlik kuchi tezlanishi. Agar soat mili harakatiga qarshi hisoblanadigan tezlik vektori bilan o’qning musbat yo’nalishi orasidagi burchak bo’lsa, u holda (66) ga asosan

(67)

tenglikka ega bo’lamiz. trayektoriya noma’lum bo’lgani sababli, ushbu

(68)

miqdor ham noma’lum bo’ladi. (67) va (68) tengliklardan

tenglik hosil bo’ladi. Bundan darxol

yoki

tenglamaga ega bo’lamiz, bunda tenglamada noma’lum funksiya integral belgisi ostida bo`lgani uchun (69) integral tenglamadan iboratdir. Integral tenglamalarning qisqa nazariyasini biz keyingi bobda bayon qilamiz.

(69) tenglama Abelnomi bilan ataluvchi ushbu

integral tenglamaning xususiy xolidir. (68) ga asosan,

(69) integral tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimlarigina fizik ma’noga ega bo’ladi.

Agar shu xossaga ega bulgan (69) tenglamaning yechimini topa olsak, u xolda

geometrik tenglikdan darxol izlanayotgan trayektoriyaning tenglamasini topamiz:

Yuqorida keltirib chikarilgan tenglamalar aloxida ajralib turadigan tenglamalardir.

Biz yana ko’p misollarni keltirishimiz mumkin edi, lekin matematik fizika tenglamalarini keltirib chiqarish bizning vazifamizga kirmaydi, chunki asosiy maqsadimiz bunday tenglamalarni tekshirish va yechishdan iboratdir. Matematik fizika tenglamalari deganda tabiatdagi turli xodisalarni ifodalovchi differensial, integral va funksional tenglamalar tushuniladi.

Biz bu kitobda asosan ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarni, jumladan matematik fizikaning klassik tenglamalari deb ataluvchi to’lqin tenglamalarini, Laplas tenglamasini hamda Issiqlik tarqalish tenglamalarini o’rganamiz.