Matematika va fizika tenglamalari fanidan tayyorlgan

Issiqlik tarqalish tenglamasi. Issiqlik tarqalish yoki muhitda zarrachalarning diffuziya jarayonlari ushbu umumiy diffuziya tenglamasi bilan ifodalanadi:

(44)

Issiqlik tarqalish tenglamasini keltirib chiqaramiz. Muhit nuqtasining vaqtdagi haroratini orqali, shu nuqtani o’z ichiga olgan ixtiyoriy hajm soha) ni orqali belgilab olamiz. ning chegarasi bo’lsin. Ma’lumki, muhit turli qismlarining harorati turlicha bo’lsa, u holda ko’proq qizigan qismdan ozroq qizigan qismga qarab Issiqlik harakati sodir bo’ladi. hajmda vaqt oralig’ida Issiqlik o’zgarishini tekshiramiz.

Furye qonuniga asosan, sirtning qismidan vaqtda o`tuvchi Issiqlik miqdori va haroratning normal bo’yicha hosilasi ga proporsional bo’ladi, ya’ni

(45)

bu yerda funksiya - ichki issiklik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti, Issiqlik harakati yo’nalishi bo’yicha ga o’tkazilgan normal.

Tekshirilayotgan muhitni izotrop deb hisoblaymiz, ya’ni Issiqlik o’tkazuvchanlik koeffitsiyenti faqat muhitning nuqtasiga bog’liq bo’lib, sirtning normali yo’nalishiga bog’liq emas, boshqacha aytganda Issiqlik tarqalayotgan yo’nalishga bog’liq emas. sirt orqali vaqt oralig’ida hajmga kirayotgan Issiqlik miqdori (45) formulaga asosan

(46)

ga teng, sirtga o’tkazilgan ichki normal, chunki Issiqlik ning ichiga kiryapti. hajm bo’lagining haroratini vaqtda ga o’zgartirish uchun sarf qilinadigan Issiqlik miqdori

ga teng, bunda muhitning zichligi va Issiqlik sig’imi (berilgan jismni ga isitish uchun zarur bo’lgan Issiqlik miqdori). Demak, hajm haroratini ga o’zgartirish uchun zarur bo’lgan Issiqlik miqdori

(47)

ga teng.

bo’lgani uchun (47) tenglik ushbu ko’rinishda yoziladi:

(48)

Faraz qilaylik, tekshirilayotgan hajm ichida Issiqlik manbalari bo’lsin. Issiqlik manbalarining zichligini (birlik vaqt ichida birlik hajmdan ajralgan yoki o’nga singib ketgan Issiqlik miqdori) orqali belgilab olamiz. hajmdan vaqt oralig’ida ajralayotgan yoki unga singib ketayotgan Issiqlik miqdori

ga teng. Endi balans tenglamasini tuzamiz. Ravshanki, ya’ni

(49)

funksiyani fazoviy koordinatalar bo’yicha ikki marta, bo’yicha bir marta differentsiallanuvchi va

bu hosilalar tekshirilayotgan sohada uzlo’qsiz deb hisoblab,

tenglikni e’tiborga olsak, Gauss - Ostrogradskiy formulasiga asosan

tenglikka ega bo’lamiz. Bunga asosan (49) formula ushbu ko’rinishda yoziladi:

Bundan darxol hajm va vaqt oralig’i ixtiyoriy bo’lgani uchun

(50)

Issiqlik tarqalish tenglamasini hosil qilamiz. Agar muhit bir jinsli bo’lsa, ya’ni , va funksiyalar o`zgarmas bo’lsa, (50) tenglama

(51)

ko’rinishga keladi, bunda

(51) tenglama Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi ham deyiladi. (51) tenglamani keltirib chiqarishda fazoviy koordinatlar soni ni 3 ga teng deb hisoblagan edik. Bu tenglamada son ixtiyoriy bo’lishi mumkin. Agar tekshirilayotgan muhitda Issiqlik manbalari bo’lmasa, ya’ni bo’lsa, bir jinsli Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi hosil bo’ladi:

Tebranish tenglamalaridek, issiqlik tarqalish jarayonini to’la ifodalash uchun muhitda haroratning boshlang’ich tarqalishi (boshlang’ich shart) hamda muhitning chegarasidagi holati berilishi shart. Boshlang’ich shart, to’lqin tenglamalaridan farqi, funksiyaning boshlang’ich vaqtdagi qiymatini berishdan iboratdir, ya’ni

(52)

Chegaraviy shartlar haroratning chegaradagi rejimiga qarab turlicha bo’lishi mumkin.

1. 
   chegarada berilgan bir xil harorat saqlanayotgan bo’lsa, u holda
   

(53)

2. 
   Agar da berilgan Issiqlik oqimi bir xil bo’lsa, holda
   

(54)

3. 
   Agar da Issiqlik almashinishi sodir bo’layotgan bo’lsa, Nyuton qonuniga asosan
   

(55)

bo’ladi, bunda issiqlik almashinish koeffitsiyenti, - atrof-muhitning harorati. Xuddi Issiqlik tarqalish tenglamasiga o’xshash zarrachalar diffuziyasi tenglamasi keltirib chiqariladi. Faqat bunda Furye qonuni o’rniga birlik vaqtda sirtning qismidan o’tuvchi zarrachalar oqimi uchun Nernst qonunidan foydalanish kerak. Bunga asosan

bu yerda diffuziya koeffitsiyenti, vaqtda nuqtadagi zarrachalar zichligi. zichlik uchun (44) ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz, unda g’ovaklik koeffitsiyentini belgilaydi, esa muhitning singdirishini ifodalaydi. (51) Issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi parabolik tipdagi tenglamalarning yaqqol vakilidir.

3. Statsionar tenglamalar. Statsionar, ya’ni vaqtga bog’liq bo’lmagan jarayonlar uchun
(37) tebraninilar hamda (44) diffuziya tenglamalari ushbu

(56)

ko’rinishga ega bo’ladi. bo’lganda (56) tenglamadan

(57)

tenglama hosil bo’ladi. Agar bo’lsa,

(58)

Tenglamaga ega bo’lamiz. (57) tenglama Puasson, (58) tenglama esa Laplas tenglamasi deb ataladi.

Statsionar jarayonlarni to’la ifodalash uchun chegaradagi holatni, ya’ni (53), (54) va (55) chegaraviy shartlardan birini berish zarurdir.

Faraz qilaylik, (43) to’lqin tenglamasida tashqi ta’sir davriy bo’lib, uning chastotasi , amplitudasi bo’lsin:

Agar ni ham chastotali va noma’lum amplitudali davriy funksiya deb izlasak, ya’ni

u holda funksiya uchun ushbu

(59)

Statsionar tenglama hosil bo’ladi.

(59) tenglama Gelmgolts tenglamasi deyiladi. Yuqorida keltirilgan statsionar tenglamalar elliptik tipga tegishli bo’lgan tenglamalarning vakilidir.

4.