Matematika ta’lim yo’nalishi kurs ishi

2.2 Aniqmas ifodalar va ularga doir misollar
Oldingi paragrafdagi , va ifodalarda ishtirok etgan va funktsiyalarni chekli limitlarga ega deb, limitlarini ko`rib o`tdik.
Ikki o`zgaruvchining xususiy o`zgarish qonuniga qarab, limit turli qiymatlarga ega bo`lishi yoki mutlaqo mavjud bo`lmasligi mumkin.
Faraz qilaylik, da dagi va larning ikkalasi ham bir vaqtning o`zida nolga intilsin. U holda,
(1)
hosil bo`ladi, ammo shakldagi natijani javob sifatida qabul qilib bo`lmaydi.
da ham nisbat haqida shunday fikrni aytish mumkin:
(2)
(1) va (2) hollarda nisbatga yoki ko`rinishlardagi aniqmasliklar deyiladi. Bulardan tashqari , , kabi aniqmasliklar ham uchraydi. Bunday aniqmasliklarni ochish yo`llarini keyinchalik ko`rib o`tamiz.
- shaklidagi aniqmasliklarni ochish uchun berilgan kasrning surat va maxrajini ko`paytuvchilarga ajratish va o`xshash hadlarini qisqartirish lozim. Hosil bo`lgan kasrning limiti aniq ifodaga aylanadi.
1-teorema : 1) funksiyalar [a, b] oraliqda aniqlangan , 2) = 0 , =0 , 3) [a,b] oraliqda chekli hosilalar mavjud , shu bilan birga va nihoyat , 4) (chekli yoki cheksiz ) limiti mavjud deb faraz etaylik .
U vaqta bo’ladi .
Isbot. funksiyalar ta’rifini deb to’ldiraylik. U vaqtda bu funkisiyalar [a,b] yopiq oraliqda uzluksiz bo’lib qoladilar:
ularning a nuqtadagi qiymatlari dagi limit qiymatiga teng.
Koshi teoremasini qo’llab ni hosil qilamiz , bu yerda
a
Shubhasiz da , demak 4) ga asosan , shuni isboti talab etilgan edi .
Shunday qilib isbotlangan teorema funksiyalar nisbatining limitijni hosilalar nisbatining limitiga (agar ular mavjut bo’lsa ) keltiradi . Ko’p vaqt hosilalar nisbatining limitini hisoblash soddaroq bo’ladi va elementar usullar bilan bajariladi .
Faqat aniqlik uchun biz oraliqning chap cheti a bo’lgan va x o’zgaruvchi a ga o’ngdan intilgan holni ko’rdik . a sonini o’ng chet deb hisoblash va x ni ungaa chabdan intiltirish ham mumkin edi . Nihoyat ikki tomonlama limitga o’tish ham mumkin deb faraz etamiz .
Misol. limitini toping .
Yechish . Lopital qoidasiga muvofiq ,

ga teng . Olingan oxirgi natija hossalar nisbatining ko’rsatilgan nuqtada uzluksizligidan unga o’rniga qo’yish natijasida kelib chiqadi .
Misol. limitini toping.
Yechish hosilalari nisbati ketma- ket solishtiriladi :

da u, shubhasiz , ikkiga intiladi . Teoremaga asosan izlangan limit ham shundan ibort .