Matematika kafedrasi nurmatova gulnoraning

§ 7. Statistik taqsimot bilan nazariy taqsimot orasidagi bog’lanish
Shuni qayd etib o’tamizki, taqsimot deyilganda ehtimollar nazariyasida tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari va ularning ehtimollari orasidagi moslik, matematik statistikada esa kuzatilgan variantalar va ularning chastotalari yoki nisbiy chastotalari orasidagi moslik tushiniladi.

3-misol. Hajmi 20 bo’lgan tanlanmaning chastotalari taqsimoti berilgan:

: 2 6 12

: 3 10 7

Nisbiy chastotalar taqsimotini yozing.

Yechish. Nisbiy chastotalarni topamiz. Buning uchun chastotalarni tanlanma hajmiga bo’lamiz:

Nisbiy chastotalar taqsimotini yozamiz:

X_i: 2 6 12

N_i: 0.15 0.5 0.35

Nisbiy chastotalar yig’indisi birga teng bo’ladi:

W₁+W₂+W₃+ ... +W_k= + + … + = =1

To’plam variantalarining bir qismi (ulushi) biror x sondan kichik, teng yoki undan katta bo’lishi mumkin. Variantalarning x sondan kichik bo’lgan qiymatlarining nisbiy chastotasi

F_n(x)=

empirik taqsimot funksiya deyiladi, bu yerda m(x) x dan kichik bo’lgan variantalar soni, n esa tanlanma to’plamning hajmi.

Shunday qilib, masalan, F_n(x₂) ni topsh uchun x₂ dan kichik variantalar sonini tanlanma hajmiga bo’lish lozim;

.

Bosh to’plam taqsimotining interval funksiyasini, tanlanma taqsimotining empirik funksiyasidan farq qilib taqsimotning nazariy funksiyasi deyiladi. Empirik ya’ni statistik funksiya va nazariy funksiyalar orasidagi farq shundaki, nazariy funksiya X F_n(x) empirik funksiya esa shu hodisaning o’zining nisbiy chastotasini aniqlaydi. Bu yerda X F_n(x) shu hodisaning F(x) ehtimoliga ehtimol bo’yicha yaqinlashadi. Boshqacha qilib aytganda, F_n(x) va F(x) sonlar bir biridan kam farq qiladi. Shu yerning o’zidayoq, bosh to’plam taqsimotining nazariy funksiyasini taqribiy tasvirlashda tanlanma taqsimotning empirik funksiyasidan foydalanish maqsadga muvofiq bo’lishi kelib chiqadi.

Bunday xulosa shu bilan ham tasdiqlanadiki, F_n(x) funksiya F(x) ning barcha xossalariga ega. Darhaqiqat, F_n(x) funksiyaning ta’rifidan foydalanib uning quyidagi xossalari kelib chiqadi:

1. 
   empirik funksiyaning qiymati [0;1] kesmaga tegishli;
   
2. 
   F_n(x) – kamaymaydigan funksiya;
   
3. 
   Agar x₁- eng kichik varianta bo’lsa, u holda da F_n(x) =0; x_k- eng katta varianta bo’lsa, u holda da F_n(x) =1.
   

Shunday qilib, tanlanma taqsimotining empirik funksiyasi bosh to’plam taqsimotining nazariy funksiyasini baholash uchun xizmat qiladi.

4-misol. Tanlanmaning quyida berilgan taqsimot bo’yicha uning empirik funksiyasini tuzing.

variantalar 2 6 10

chastotalar 12 18 30

Yechish: Tanlanma hajmini topamiz:

12+18+30=60. Eng kichik varianta 2 ga teng. Demak, da F_n(x) =0.

X<6 qiymat, xususan, x₁=2 qiymat 12 marta kuzatilgan, demak,

X<10 qiymatlar, jumladan x₁=2 va x₂=6 qiymatlar 12+18=30 marta kuzatilgan; demak,

X=10 eng katta varianta bo’lgani uchun

Izlanayotgan empirik funksiya:

Chastotalar poligoni deb (x₁, n₁); (x₂, n₂); ... ;(x_k, n_k) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi. Nisbiy chastotalar poligoni deb (x₁, W₁); (x₂, W₂); … ; (x_k, W_k) nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziqqa aytiladi.

5-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti bo’yicha chastotalar va nisbiy chastotalar poligonini chizing.

1 2 4 5 8

5 10 15 7 3

Yechish. Tanlanma hajmi n=5+10+15+7+3=40 ga teng. Nisbiy chastotalarni topamiz:

1 2 4 5 8

Chastotalar gistogrammasi deb, asoslari h uzunlikdagi intervallar, balandliklari esa n_i dan iborat bo’lgan to’g’ri to’rtburchakdan iborat pog’onasimon figuraga aytiladi, bu yerda h- bosh to’plamning bizni qiziqtiradigan belgisining kuzatiladigan qiymatlarini o’z ichiga olgan interval uzunligi, n_i esa i-intervalvalga tushgan variantalar soni. Ko’p hollarda chastota gistogrammasi belgi uzluksiz bo’lgan holda qo’llanadi.

Nisbiy chastotalar gistogramasi asoslari h uzunlikdagi intervallar, balandliklari nisbatga teng bo’lgan to’g’ri to’rtburchaklardan iborat pog’onasimon figuradan iborat.

6-misol. Berilgan tanlanma taqsimoti bo’yicha chastotalar va nisbiy chastotalar gistogrammalarini chizing.

5-10 10-15 15-20 20-25

2 6 12 10

Yechish. n=2+6+12+10=30 – tanlanma hajmi.

Matematik statistika o’rganadigan masalalardan biri, taqsimotning turli sonli xarakteristikalarini baholashdan iborat.

(1) tanlanmaning o’rta arifmetik qiymati deb,

=

ga aytamiz.

Agar tasodifiy miqdor ustida olib borilgan kuzatishlar natijalari mos ravishda marta takrorlansa, u holda o’rta arifmetik quyidagi formula yordamida aniqlanadi:

= .

7-misol. Quyida tavakkaliga olingan 100 ta talabaning bo’yini o’lchash natijalari keltirilgan

tekshirilgan talabalar bo’yining o’rtacha arifmetik qiymatini toping.

Yechish. Oraliqlar o’rtalarini topib va ularni varianta deb hisob qilib yangi jadval tuzamiz.

Tanlanma hajmi n= 10+14+26+28+12+8+2=100.

O’rta arifmetik qiymat topish formulasiga ko’ra,

= = =166.

1. 
   tanlanmaning tanlanma dispersiyasi deb,
   

=

ifodaga aytiladi.

7-misol uchun tanlanma dispersiyani hisoblang.

Yuqoridagi tanlanma dispersiyani topish formulasiga ko’ra,

Tanlanma dispersiyadan musbat ishora bilan olingan kvadrat ildiz

=

ga taqsimotning o’rtacha kvadratik xatosi (o’rtacha kvadratik og’ishi) deyiladi.

7-misol uchun o’rtacha kvadratik xato

ga teng.

Tanlanma to’plamning o’rta arifmetik qiymati va tanlanma dispersiyasidan boshqa xarakteristikalari ham mavjud, shulardan ba’zi birlarini keltiramiz. Eng katta chastotaga ega bo’lgan varianta moda deyiladi va μ₀ bilan belgilanadi.

7-misol uchun moda ya’ni

μ₀=168

bo’ladi.

Variatsion qatorni variantalar soni teng ikki qismga ajratadigan varianta variatsion qatorning medianasi deyiladi va m_e kabi belgilanadi. Agar variantalar soni toq, ya’ni n=2k+1 bo’lsa, u holda m_e=x_k+1 bo’ladi, variantalar soni juft, ya’ni n=2k bo’lsa, u holda

M_e=

deb olinadi.

7-misol uchun mediana ya’ni

m_e=168

bo’ladi.

Variatsiya uzunligi x_max-x_min (yoki x^*_n-x^*₁) formula yordamida hisoblanadi.

Variatsiya koeffitsenti deb

v=

ifodaga aytiladi.

7-misol uchun variatsiya koeffitsenti

v=

ga teng.

Taqsimotning asimmetriya (qiyshayganlik) koeffitsenti deb

A_s=

ifodaga aytiladi.

7-misol uchun asimmetriya koeffitsentini hisoblaymiz.

Demak, javob:

Bu koeffitsent yordamida taqsimotni nosimmetrikligini aniqlanadi. Simmetrik taqsimot funksiyalar uchun A_s=0.

Taqsimotning eksessiyasi deb

E_k=

ifodaga aytiladi.

7-misol uchun eksessiyasini hisoblaymiz.