Matematika” kafedrasi “Algebra va sonlar nazariyasi”

2. Koeffetsentlarni о‘zlashtirish usuli. Taqqoslamani bu usul orqali yechish uchun taqqoslamalarning xossalaridan foydalanib noma’lum oldidagi koeffitsentni va ni shunday о‘zgartirish kerakki о‘ng tomonda hosil bо‘lgan son ning koeffitsentiga bо‘linsin.

Agar bо‘lsa, yangi о‘zgaruvchiga о‘tish maqsadga muvofiq bо‘ladi.

1. Misollar.





3. Eyler teoremasidan foydalanish. Bizga ma’lumki, agar bо‘lsa u holda edi.

Buning har ikkala tomonini ga kо‘paytirsak deb yozish mumkin. Oxirgi taqqoslamani bilan solishtirib,

ekanligiga

ishonch hosil qilish mumkin. Ammo misollar yechimida ifodani model bо‘yicha eng kichik chegirmaga keltirish lozim.

Misol.



Mabodo taqqoslamaning moduli yetarlicha katta bо‘lsa, yuqoridgi usullarining birortasi ham uncha samara bermaydi. Bnday taqqoslamalarni yechish uchun quyidagi usuldan foydalanamiz.

4. Uzluksiz kasrlardan foydalanish usuli. Bizga quyidagi (1) taqqoslama berilgan bо‘lsin, bunda kasrni uzluksiz kasrga yoyib, uning sunosib kasrlarini deb belgilaymiz. Bu kasr qisqarmas kasr bо‘lganidan u holda tenglik shaklini oladi. Bu tenglikdan yoki ni hosil qilamiz. Oxirgi taqqoslamani ikkala tomonini ga kо‘paytramiz: (2) Bu oxirgi (2) va (1) formuladan (3) hosil qilamiz. Bunda son kasrning munosib kasrdagi suratdan iborat. Dastlabki (1) taqqoslamani yagona yechimga ega bо‘lgani uchun ham (3) yechim (1) taqqoslamaning yechimi bо‘ladi.

Misol. taqqoslama yechilsin. bо‘lgani sababli taqqoslamaning moduli va ikkala qismini 3 ga bо‘lamiz: Endi kasrni munosib kasrlarga yoyamiz.

Demak,

bо‘lib,

	0	3	4	7	1	2
	1	3	13	97	107	308

.

Berilgan taqqoslamaning yechimlari dan iboratdir.

1-misol. a=2511 sonini 6=123 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.

Yechish- Qoldiqli bo‘lishi haqidagi teoremadan foydalanib

a—bq+r, 0 < r< b ifodani topamiz: 2511=123 • 20+51

Demak, a=2511 ni 6=123 ga bolganda r = 51 qoldiq qoladi.

2-misol. a=25¹¹²ni 16 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.

Yechish. a=25¹¹²ni sonini 16 ga bo‘lish uchun taqqoslamaning

xossalaridan foydalanamiz. 25=16-1+9 ekanligidan 25=9(modl6)

kelib chiqadi. Bundan

25¹¹²=9¹¹²=(9²)⁵⁶=8 1⁵⁶. 81=16 • 5+1 ekanligini e’tiborga ol￾sak, u holda 25 ¹¹²=81⁵⁶= 1⁵⁶= 1 (mod 16).

Demak, 25¹¹² ni 16 ga bo‘lganda 1 qoldiq qoladi.

3-misol. Agar 100a+100b>+c = 0 (mod 21) bo‘lsa, u hol￾da a — 2b + 4c = 0 (mod 21) ekanligini isbotlang.

Isbot. Taqqoslamaning ikkala tomonini modul bilan o‘zaro

tub 4 songa ko‘paytiramiz: 400a+40b+4c = 0 (mod 21).

400=21 ■ 19+1, 40=21 • 2+(—2), 4=21 • 0+4 lardan foydala￾nib, quyidagi taqqoslamalami yozamiz :

400a = a (mod21), chunki 400a — a = 399a :21;

40b = -2b (mod 21), chunki 40b - {-2b) = 42b : 21;

4c = 4c (mod 21), chunki 4c — 4c = 0 : 21.

Berilgan taqqoslamadan yuqoridagi taqqoslamalami e’tiborga

olib, 400a+40b+4с = a — 2b + 4c (mod 21) taqqoslamani hosil

qilamiz.

Demak, 400a+40b+4c = 0 (mod 21) shartdan a-2b+4c = 0 (mod21) kelib chiqadi.

4-misol. 2x= 5 (mod 9) taqqoslamaning yechimlarini tan￾lash usuli yordamida toping.

Yechish. 9 modul bo‘yicha 0, ±1, ±2, ±3, ±4 chegirmalar

sinflaridan (2;9)=1 bo‘lganligi uchun berilgan taqqoslamaning

yagona yechimini topamiz:

2 -0 = 0 * 5 (mod 9);

2• 1 = 2 * 5 (mod 9);

2 • (-1) = - 2 * 5 (mod 9);

2 •2 = 4 * 5 (mod 9);

2 • (-2 ) = -4 = 5 (mod 9).

Demak, x= — 2 (mod 9), ya’ni x= 7 (mod 9) berilgan taqqos￾lamaning yechimi.

Tekshirish: 2 •7 — 5 = 14 — 5 = 9 :9.

5-misol

27x = 24 (mod 102) taqqoslamaning yechimlarini

Eyler metodidan foydalanib toping.

Yechish. (27,102)=3 va 24=2-8. Demak, taqqoslama 3 ta ye￾chimga ega. Berilgan taqqoslamaning ikkala qismi va modulni 3ga bo‘lamiz: 9x = 8 (mod 34).

Bunda a = 9, m=34, b = 8 bo‘lgani uchun x = b•a^ф{m) (mod m)

dan x = 8 • 9^ф(34)-1 (mod 34) ga ega boiamiz.

ф(34) = 2 • 17 |l -½ |l -⅐|= 16 ekanligini e’tiborga olamiz:

x = 8• 9¹⁵ = 8• 9• 9¹⁴ = 4 ( 9² )⁷ = 4• 13⁷= 4•13⁷= 4•1 3• (13²)³=

= 18 • ЗЗ³ = 18 • 33 • (33)² = 16•1² =16 (mod 34).

Bundan x = 16 (mod 34) ga ega bo‘lamiz.

Tekshirish: 9 • 16 - 8 = 136 :34. U holda 27x = 24 (mod 102)

taqqoslama

x = 16 (mod 102),

x = 16 + 34 (mod 102),

x = 16 + 34 • 2 (mod 102) yechimlarga, ya’ni

x = 16 (mod 102),

x = 50 (mod 102),

x = 84 (mod 102) yechimlarga ega.

Tekshirish: 27 • 16 - 24 = 408 : 102;

2 7 - 5 0 - 2 4 = 3126:l02;

27 • 84 - 24 = 2244 :102.

Xulosa

Mening kurs ishim taqqoslamalar xossalarini o'rganishga qaratilgan.

Ushbu kurs ishimda taqqoslash nazariyasining asoslari ko'rsatilgan. Ushbu kurs ishining vazifasi etarli nazariy va amaliy materiallarni o'z ichiga olgan o'quv qo'llanmasini yaratishdir.

Ushbu ishda nazariyaning asosiy nuqtalari etarlicha batafsil berilgan, ular ko'rib chiqilayotgan masalalarni chuqurroq anglashga imkon beradigan misollar bilan yoritilgan.

Kurs ishi materiali sonlar nazariyasining tegishli kursini o'rganishda ham, algebra bo'yicha maxsus kurslarda ham, ayniqsa, yoshlik yillarida sonlar nazariyasi kursi bo'lmagan mutaxassisliklar uchun ishlatilishi mumkin.

Yangicha fikrlaydigan, bozor munosabatlarida muvaffaqqiyatli xo‘jalik yuritadigan yuksak malakali, chuqur bilimli mutaxasislarni tayyorlash davr talabi bo‘lib qoldi.

Taqqoslash nazariyasi metodlari fan, texnika, iqtisodiyotning turli sohalarida keng qo'llaniladi. Ushbu algebra bo'limi matematiklar, fiziklar va boshqa mutaxassislarni universitetda o'qitishda muhim o'rin tutadi, lekin ko'pincha u etarli darajada chuqur o'rganilmaydi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhati
1. Хожиев Ж.Х. Файнлейб А.С. Алгебра ва сонлар назарияси курси, Тошкент, «Ўзбекистон», 2001й.

2. Курош À.Ã.. Олий алгебра курси. Тошкент, «Ўқитувчи». 1975й.

3. Гельфанд И.М. Чизиқли алгебрадан лекциялар. «Олий ва ўрта мактаб». 1964.

4. Kostrikin. A.I. “Videniye v algebru”. 1977г.

5. Kostrikin. A.I va boshqalar “Sbornik zadach po algebra. «Наука», 1986г.

Qo’shimcha adabiyotlar

6. Fadeev. D. K, Sominskiy.I.S. “Sbornik zadach po algebra”. М. Наука, 1977г.

7. Proskuryakov I. B. “Sbornik zadach po lineynoy algebre”. «Наука», 1978г.

8. Abdullaev N. va boshqalar, Algebradan laboratoriya topshiriqlari, T., Univ., 2007.

9. Iskandarov R, Nazarov R “Algebra sonlar nazariyasi” I,II-qism

10. Novosyolov S.I. “ Sonlar nazariyasi asoslari”