Математика институти

Степень изученности проблемы. Первые результаты по изучению асимптотики вероятности продолжения процесса были получены в работах А.Колмогорова, Н.Дмитриева, Б.Севастьянова, С.Хиткота, Е.Сенеты и Д.Вир- Джонса, А.Нагаева и Р.Мухамедхановой. Первые предельные теоремы для распределения числа частиц при условии не вырождения процесса в текущий момент времени установлены в работах А.Яглома, Т.Харриса, Дж.Ламперти, П.Нея, Б.Севастьянова. Дж.Ламперти и П.Ней изучали свойства Q-процесса, как процесса Гальтона-Ватсона с не вырождающейся в далеком будущем траекторией. Первые локальные предельные теоремы для марковских ветвящихся процессов с непрерывным временем были доказаны в работах В.Чистякова. В этих работах предполагались в основном, существование конечности третьего и четвертого факториальных моментов закона распределения прямых потомков одной частицы.
В.Золотарев впервые продемонстрировал возможность применения теории правильно меняющихся функций в смысле Карамата при улучшении результатов классических теорем, без предположения конечности второго момента числа прямых потомков одной частицы. Он доказал аналог теоремы
33
А.Яглома и теоремы В.Чистякова для критических марковских ветвящихся процессов, предполагая, что хвост инфинитезимальной производящей
функции процесса правильно меняется в точке 1 с показателем γ ∈ (1,2].
Теоремы В.Золотарева обобщают предыдущие результаты, в том смысле, что

число
γ ∈ (1,2]
обозначает порядок конечного момента числа прямых

потомков одной частицы. Позднее Р.Слэйк установил аналоги результатов В.Золотарева для процесса Гальтона-Ватсона. С.Нагаева и В.Уочтель
улучшили результат Р.Слэйка, доказав теорему А.Яглома для случая γ = 1.
Асимптотические свойства общего числа частиц всех поколений участвовавших в процессе Гальтона-Ватсона исследованы в работах Д.Кеннеди, А.Пэйкса, В.Ватутина и С.Сагитова, А.Карпенко и С.Нагаева.
Еще одну важную область теории ветвящихся процессов составляют процессы с иммиграцией частиц. Процессы с иммиграцией впервые были определены Б.Севастьяновым для непрерывного времени. Позднее С.Хиткот ввел эту модель для дискретного времени. Е.Сенетой были найдены функциональные уравнения, решениями которых являются производящими функциями для инвариантных мер процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией. А.Зубков изучал периоды жизни процессов с иммиграцией. А.Пэйкс доказал локальные предельные теоремы для процесса Гальтона- Ватсона с иммиграцией и установил, что при определенных условиях переходные вероятности процесса правильно меняется на бесконечности. И.Бадалбаевым и И.Рахимовым было инициировано исследование ветвящихся процессов с неоднородной иммиграцией. Ш.Форманов и Ж.Азимов доказали предельную теорему для марковского ветвящегося процесса с иммиграцией, зависящей от состояния и с правильно меняющейся производящей функцией. Дж.Ли, Ф.Чэн и А.Пэйкс доказали теоремы о
существовании и единственности λ -инвариантной меры для марковских ветвящихся процессов. Я.Хусанбаев исследовал слабую сходимость к
детерминированным процессам и доказал ряд предельных теорем для флуктуации процессов Гальтона-Ватсона с иммиграцией. А.Иксанов и З.Каблучко доказали функциональные предельные теоремы для процессов Гальтона-Ватсона с так называемой «очень активной иммиграцией».