Matematika-informatika fakulteti “amaliy matematika va informatika yo’nalishi” talabasi Saydaliyev Sanjarbek Saidazim og’lining

Bellmanning funksional tenglamalari.

Vaqtga bog‘liq ravishda o‘zgaruvchan va boshqarish mumkin bo‘lgan jarayonni ko‘ramiz. Bu jarayonni -ta bosqichga ajratish mumkin bo‘lsin deb faraz qilamiz. Jarayonning har bir -bosqichining boshidagi holatini vektor orqali belgilaymiz:

.
Rivojlanish jarayonida sistemaning holati o‘zgaradi. Uning holatdan holatga o‘tishi boshqarish ta’sir qiladi. Demak, o‘zgaruvchi va o‘zgaruvchilarning funksiyasidan iborat bo‘ladi, ya’ni: , bu erda mumkin bo‘lgan boshqarishlar to‘plami ga tegishli, ya’ni .
Sistemani eng yaxshi holatga o‘tishini ta’minlash uchun maqsad funksiyani kiritamiz:
,
bu erda sistemaning holatdan holatiga o‘tishida hisoblana-digan va bu holatlarni solishtirib baholovchi funksiyadir.
Agar sistemaning bosqichidagi holatlar to‘plami , mumkin bo‘lgan boshqarishlar to‘plami hamda sistemani bir holatdan ikkinchi holatga o‘tkazish qoidasi va bu holatlarni solishtiruvchi funksiya berilgan bo‘lsa, bosqichli sistema to‘la aniqlangan bo‘ladi. Bunday sistemani ifodalovchi dinamik dasturlash masalasi quyidagicha yoziladi.
Sistemani boshlang‘ich holati ma’lum bo‘lganda shunday strategiyani tanlash kerakki, u:
(1)
shartlarni qanoatlantirib,
(2)
funksiyaga ekstremal qiymat bersin.
(1) – (2) masalani yechishdan avval belgilashlarni kiritamiz. Bu erda - masalaning oxirgi bosqichdagi aniqlanish sohasi, - va bosqichlardagi aniqlanish sohasi, - berilgan masalaning aniqlanish sohasi.
Maqsad funksiyaning oxirgi bosqichdagi optimal qiymatini bilan belgilaymiz:
(3)
Xuddi shuningdek, maqsad funksiyaning oxirgi va qadamdagi shartli optimal qiymatini bilan belgilaymiz. U holda:
(4)
(5)
Xuddi shuningdek,
(6)
(7)
Bu yerda (3) – (7) ifodalar optimallik tamoyilining matematik formadagi yozilishidan iborat bo‘lib, ular “Bellmanning funksional tenglamalari” yoki “Dinamik dasturlashning asosiy funksional tenglamalari” deb ataladi.
Ushbu tenglamalar yordamida dinamik dasturlashning bosqichidagi yechimini so‘nggi bosqichdagi yechimi orqali topiladi. SHuning uchun yuqoridagi munosabatlar Bellmanning rekkurent munosabatlari deb ataladi.