Matematika” fakulteti “differenciallíq teńlemeler” kafedrasí

1-§.Laplas túrlendiriwleri hám onıń qásiyetleri
Meyli haqıyqıy ózgeriwshi argumenttiń aralıqta berilgen funkciyasın qarastırayıq. Ayırım waqıtları funkciyası aralıqta anıqlanǵan dep hám esaplaymız, biraq bul jaǵdayda ushın dep uyǵaramız. Meyli kompleks san ushın

funkciyasın qarastırayıq. Eger bolsa, onda funkciyası

yarım tegislikte analitikalıq funkciya boladı. Haqıyqatında da, bolǵanlıqtan


funkciyası funkciyasınıń Laplas túrlendiriwi dep ataladı hám kópshilik waqıtları bul funkciya Laplas túrlendiriwiniń sáwleleniwi depte ataladı. Al funkciyasınıń ózi Laplas túrlendiriwi ushın orginal funkciya dep ataladı.

Tómendegi úsh qásiyetti qanaatlandıratuǵın kompleks mánisli funkciyası original funkciya bola aladı:

1. funkciyası ayırım birinshi túr úzilis tochkalarınan basqa barlıq kósheriniń boyında jetkilikli dárejedegi joqarı tártipli tuwındıları menen birlikte úzliksiz.
2. Barlıq nıń teris mánislerinde .
3. funkciyası kórsetkishli funkciyalardan tez óspeydi, yaǵnıy sonıńday sanları bar bolıp, barlıq lar ushın

teńsizligi orınlı boladı, bul jerde sanı funkciyasınıń ósiw kórsetkishi dep ataladı.
Laplas túrlendiriwi simvolikalıq túrde kóriniste jazıladı. súwretleniwi boyınsha originaldı tabıwǵa múmkinshilik beriwshi keri Laplas túrlendiriwi

formulası menen anıqlanadı.
Ápiwayı original funkciyalarǵa mısal retinde

Xevisayda funkciyasın alıwǵa boladı. Bul funkciyanıń ósiw kórsetkishi bolıp, Laplas túrlendiriwi

yaǵnıy

boladı.
Meyli funkciyası joqarıdaǵı úsh shártti qanaatlandırǵan bazı- bir funkciya bolsın. Onda

formulası menen anıqlanatuǵın kóbeymeside original funkciyanıń barlıq shártlerin qanaatlandıratuǵın funkciya boladı.
funkciyasınıń ornına qısqalıq ushın dep jazamız hám bul funkciyanı nıń teris mánislerinde nol`ge aylanadı dep uyǵaramız.
Laplas túrlendiriwi tómendegi qásiyetlerge iye:

1⁰. Qálegen kompleks hám turaqlı sanları ushın

túrindegi sızıqlı qásiyetke iye,
bul jerde .
Laplas túrlendiriwiniń bul sızıqlılıq qásiyeti menshiksiz integraldıń sáykes qásiyetlerinen kelip shıǵadı.

2⁰. Qálegen turaqlı sanı ushın

túrindegi uqsaslıq qaǵıydası orınlı.

3⁰. Eger original bolsa, onda originaldı differenciallawdıń

formulası orınlı. Bul qaǵıydanı keńirek maǵanada tómendegi teorema menen berip ótemiz:
Teorema. Eger hám lar dáslepki funkciyalar bolsa, onda

---------------------------------- (1)

boladı, bul jerde
Dálillew. Súwretleniwdiń anıqlaması boyınsha

integraldı bóleklep integrallasaq

Al bolǵanlıqtan bolıp,

boladı.
Eger dáslepki funkciyası tochkada úzliksiz funkciya bolsa, onda boladı, sebebi ushın . Sonlıqtan

teńliginen

kelip shıǵadı. Endi

integralın eki ret bóleklep integrallasaq

bolıp, ushın

teńligi durıs boladı.