Matematik modellashtirish asoslari

МИРЗО УЛУҒБЕК НОМИДАГИ ЎЗБЕКИСТОН МИЛЛИЙ УНИВЕРСИТЕТИ
Амалий математика ва компьютер таҳлили кафедраси
MATEMATIK MODELLASHTIRISH ASOSLARI
ф-м.ф.д. A.C. МАТЯКУБОВ
Maltus va Ferhulst-Perl modellari
9-MAVZU

• Maltus modeli
• Ferhulst-Perl modeli

MALTUS MODELI
Malthus — ingliz iqtisodchisi, ruhoniy. Kembrij universitetining Jezus kollejini tugatgan (1788). Ost-Indiya kompaniyasi tasarrufidagi kollejda yangi tarix va siyosiy iqtisod kafedrasida prof. (1805-34). “Populyatsiya tamoyillari" asari (1798) unga katta mashhurlik keltirdi. M. bu asarida koʻpgina iqtisodchilar orasida qabul qilingan aholi soni va uning oʻsishi boylikdir, degan fikrga zid holda aholi oziq-ovqatning cheklangan taklifiga duch kelguniga qadar oʻsaveradi, aholi geometrik, oziq-ovqat mahsulotlari taklifi arifmetik progressiya boʻyicha oʻsadi, deb qaraydi.
Thomas Robert Malthus (1766.13.2, Rukeri — 1834.23.12, Bat) — ingliz iqtisodchisi, ruhoniy.
MALTUS MODELI
MALTUS MODELI
Aholi oʻsishini ijobiy (yaʼni oʻlimni koʻpaytirish orqali) — urushlar, epidemiyalar va boshqa yoki salbiy (tugʻilishni cheklash orqali) — ahloqiy cheklashlar, kech nikohga kirish va boshqa yoʻllar orqali nazorat qilish mumkin. M. oʻz fikrlarini "tuproq unumdorligining pasayib borishi qonuni" bilan asoslashga urinadi. M.ning ish haqi nazariyasi tirikchilik minimumga teng boʻlgan do-imiy ish haqini nazarda tutadi. Lekin rivojlangan mamlakatlarda aholi ham, ish haqi ham, M.ning bashoratlariga zid holda, texnika ravnaqi tufayli oʻsib, daromadlarning oʻsishi darajasiga qarab tugʻilish pasayib bormoqda.
MALTUS MODELI
M. javob berishga harakat qilgan muammolar hozirgi zamonda ham past rivojlangan mamlakatlarda dolzarb hisoblanadi. Bu mamlakatlarda tugʻilish koeffitsiyenti yuqori boʻlgan sharoitda tibbiyotni "import qilish" bilan rivojlangan mamlakatlardagi kabi past oʻlim koeffitsiyenti taʼminlanmoqda va, ayni paytda, bu mamlakatlarda qashshoqlik muammosi mavjud. Shuningdek, ayrim ekologlar jahon miqyosida aholining va sanoat ishlab chiqarishining oʻsishi resurslar taqchilligiga olib keladi, deb qaraydi.
MALTUS MODELI
Ushbu modelga ko'ra, aholi halokatli o'sadi (eksponensial o'sish). Shunday qilib, Charlz Darvin turli organizmlar populyatsiyasining o'sishi potentsialini hisoblab chiqdi (uning hisob-kitoblariga ko'ra, masalan, bir juft fil - juda sekin ko'payadigan hayvonlarning avlodlari soni 750 yil ichida 19 millionga yetishi kerak edi). Bacillus coli bakteriyasi har 20 daqiqada bo'linadi; bu ko'payish tezligida bu bir hujayrali organizm butun yer sharini uzluksiz qatlamda qoplashi uchun 36 soat kifoya qiladi.
MALTUS MODELI
Bitta kirpiksimon (Paramecium caudatum) bir necha kun ichida yer shari hajmidan 10 ming marta katta bo'lgan protoplazmani hosil qilishi mumkin. Gigant yomg’ir qo'ziqorini Yerdagi ko'payishning eng katta intensivligi bilan ajralib turadi - uning har bir namunasi 7,5 milliard (!) Spora ishlab chiqarishga qodir; agar barcha nizolar harakatga kirsa, ikkinchi avlodda yomg'ir paltolari hajmi sayyoramiz hajmidan 800 baravar oshadi.
MALTUS MODELI
Bizga qandaydir ozuqaviy muhit bilan toʼldirilgan banka berilgan boʼlsin. Yarim tunda - 00 soat, 00 minut, 00 soniyada bankaga maʼlum miqdordagi bakteriya joylashtirilgandan soʼng ular boʼlinishni boshlaydi. Banka keyingi kunning 00 soat, 00 minut, 00 soniyasida, yaʼni 24-soatdan keyin bakteriyalar bilan toʼldirilishi maʼlum. Shuningdek, har soniyada bankadagi bakteriyalar soni ikki baravar koʼpayishi ham maʼlum. Banka qachon (soat, minut va soniyada) yarmigacha toʼlishini aniqlang.
MALTUS MODELI
MALTUS MODELI
P0 = P(0) – aholi sonining boshlang’ich qiymati
r – aholi sonining o’sish qiymati
t – vaqt
MALTUS MODELI
Umumiy yechimi
alpha – tug’ilish qiymati
beta – o’lish qiymati
MALTUS MODELI
Umumiy yechimi
alpha – tug’ilish qiymati
beta – o’lish qiymati
MALTUS MODELI
yechimi
Bu yechimdan ixtiyoriy vaqt momentidagi bakteriyalar sonini hosil qilib olish mumkin.
MALTUS MODELI
MALTUS MODELI
MALTUS MODELI
MALTUS MODELI
Olingan yechim tahlili quyidagilarni ko’rsatadi:

• agar α > β bo’lsa, populyatsiya soni cheksiz o’sadi;
• agar α < β bo’lsa, populyatsiya soni kamayadi;
• agar α = β bo’lsa, populyatsiya soni o’zgarmayadi.

MALTUS MODELI
Oʼrganib chiqilgan misol demografiya masalalariga nisbatan qoʼllanilgan Maltus modeli aholining cheksiz eksponentsial oʼsishini bashorat qilishini koʼrsatib berdi, bunday oʼsish esa tabiatda sodir boʼlmaydi. Mazkur model kichik vaqt oraliklarida hamda a va b koeffitsientlar muhit parametrlari va N ning qiymatlariga bogʼliq boʼlmagan vaziyatda qoʼllanilishi mumkin.
FERHULST-PERL MODELI
Pierre François Verhulst 
(28 October 1804, Brussels –
15 February 1849, Brussels)
FERHULST-PERL MODELI
Raymond Pearl 
(June 3, 1879 – November 17, 1940) 
FERHULST-PERL MODELI
r ichki o'sish tezligi va alpha - zichlikka bog'liq to'planish effekti (tur ichidagi raqobat deb ham ataladi)
FERHULST-PERL MODELI
r ichki o'sish tezligi va alpha - zichlikka bog'liq to'planish effekti (tur ichidagi raqobat deb ham ataladi)
FERHULST-PERL MODELI
C = 1/N(0) − 1/K

ЭЪТИБОРИНГИЗ УЧУН РАҲМАТ